|
Длины базисных векторов $%e_1, e_2, e_3$% в пространстве равны, соответственно $%1, 2, sqrt(2)$%, а углы между ними равны $%∠(e_1;e_2)=120; ∠(e_1;e_3)=45, ∠(e_2;e_3)=135$%. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты $%(-1;0;2), (1;1;3)$% и $%(2;-1;1)$%. задан 27 Сен '14 11:05 
Uchenitsa |
|
Здесь имеется три базиса. При переходе от одного базиса к другому мы составляем матрицу из координат векторов одного базиса в другом. Если осуществляется два перехода, то матрицы перемножаются, и то же происходит с их определителями. Объём параллелепипеда при этом равен модулю определителя. Один из базисов у нас задан в неявной форме, и координат мы не знаем. Но мы знаем углы и длины. Это позволяет составить матрицу из попарных скалярных произведений (матрицу Грама). В данном случае все её элементы получаются целочисленными, и определитель легко вычисляется (у меня получилось число 2, но желательно перепроверить). Это значит, что определитель матрицы перехода от единичного базиса ко второму (неявно заданному) равен $%\pm\sqrt2$%. Действительно, матрица Грама получается в виде $%AA^t$%, где $%A$% -- матрица из координат. Поскольку $%\det AA^t=(\det A)^2$%, мы знаем отсюда $%|\det A|=\sqrt2$%. У второй матрицы просто находим определитель; у меня получилось $%-10$%. Перемножаем модули определителей, получая $%V=10\sqrt2$%. отвечен 27 Сен '14 14:28 
falcao |