высшая-математика - Группа Баумслага – Солитэра

Пусть pi – произвольное множество простых чисел и пусть целое число m>0 представлено в виде m=m1m2 , где m1 – pi -число и m2 –pi штрих -число. Тогда элемент a^(-1)b^(m1)a*b^(-m1) принадлежит подгруппе сигме по pi(G(m,m))( пересечение всех нормальных подгрупп конечного pi-индекса данной группы G(m,m))группы G(m,m) .

Схема доказательства предложения

Пусть N – произвольная нормальная подгруппа конечного pi -индекса группы G(m,m) и пусть r – порядок элемента b по модулю подгруппы N. Заметить, что числа m2 и r взаимно просты, откуда следует, что существует целое число t, для которого выполнено сравнение m2t=1(mod r). Отсюда b=b^(m2t)(mod N) и потому a^(-1)b^(m1)a=b^(m1)(mod N) . Таким образом, элемент a^(-1)b^(m1)ab^(-m1) принадлежит каждой нормальной подгруппе конечного pi -индекса группы G(m,m) .