Почему такой интеграл равен 0, ведь явно заметно, что ограниченная фигура имеет площадь (рассматривается полярная система координат)?

задан 27 Сен '14 15:27

изменен 28 Сен '14 10:53

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Область 2+cosx неверно изображена. И вообще как-то не так звучит задание: пределы в полярной системе координат, dx dy не в полярной. Как звучит задание в оригинале?

(27 Сен '14 16:21) epimkin

Если вычисляется площадь фигуры, заданной уравнением в полярных координатах, то 0 в ответе получиться, конечно, не может. Картинка по второй из ссылок не открывается, поэтому я не знаю, какое было условие. Тут или пределы интегрирования расставлены неправильно, или не та формула была использована для нахождения площади. Как выглядело само задание?

(27 Сен '14 16:24) falcao

@epimkin, я так понял, что $%x$% - это полярный угол, а $%y$% - радиус... просто использованы нестандартные обозначения...

@Vestail, интеграл вычисляется от нечётной функции по симметричному множеству, поэтому он равен нулю.

(27 Сен '14 16:25) all_exist

там x=фи, y=ро, соответственно dx = dфи, dy = dро. А задание: найти вышеописанный интеграл по области сигма, если сигма ограничена ро=1 и ро= 2+cos(фи).

(27 Сен '14 16:26) Vestail

@Vestail, Все верно, интеграл нулевой, но с площадью это не связано.

(27 Сен '14 16:29) cartesius

@Vestail: как у Вас получился синус под знаком интеграла? Насколько я понимаю, его там быть не должно. Скорее всего, путаница вызвана неудачным выбором обозначений. Если $%y=\rho$%, то интегрировать и надо $%y$%, не выражая его через что-то другое. В ответе, кажется, должно получиться $%7\pi/2$%.

(27 Сен '14 17:03) falcao

@falcao, а изначальное условие по вычислению интеграла $$\iint\limits_{D} \frac{\eta}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}}\;d\xi\,d\eta$$ в декартовых координатах Вы не допускаете?

(27 Сен '14 19:13) all_exist

@all_exist: я не видел условия в оригинале. Из контекста мне показалось, что надо было найти площадь, поэтому возникло противоречие с тем, что она получилась равной нулю. А если там интегрируется какая-то функция, то ответ может получиться любой.

(27 Сен '14 20:47) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Площадь в полярной системе координат находится по формуле $$\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \int_{\rho_1(\varphi)}^{\rho_2(\varphi)}\rho d\rho d\varphi.$$ Точно также площадь в декартовой системе координат равна $$\int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dx dy.$$ Если же подынтегральная функция другая, то значение этого интеграла может быть вообще не связано с площадью.

Что указанный интеграл равен нулю достаточно очевидно из соображений симметрии, периодичности и четности/нечетности функций, участвующих в интеграле.

$$\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2+\cos(\varphi)}\rho\sin\varphi d\rho d\varphi=$$ $$=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2+\cos(\varphi)}\rho\sin\varphi d\rho d\varphi+\int_{\pi}^{2\pi} \int_{1}^{2+\cos(\varphi)}\rho\sin\varphi d\rho d\varphi.$$

Сделаем замену $%\psi=\varphi - \pi$%, тогда $%\sin\varphi=\sin(\psi+\pi)=-\sin\psi$%, $%\cos\varphi=\cos(\psi+\pi)=\cos\psi$%, $%d\psi = d\varphi$%. Поэтому $$\int_{\pi}^{2\pi} \int_{1}^{2+\cos(\varphi)}\rho\sin\varphi d\rho d\varphi=-\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2+\cos(\psi)}\rho\sin\psi d\rho d\psi, - $$ это в точности равно первому слагаемому, но с другим знаком.

ссылка

отвечен 27 Сен '14 16:22

изменен 27 Сен '14 16:41

В том рисунке я просто не могу написать ро и фи, поэтому там x=фи, y=ро, соответственно dx = dфи, dy = dро

(27 Сен '14 16:24) Vestail
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,600
×1,262
×832
×98

задан
27 Сен '14 15:27

показан
1053 раза

обновлен
27 Сен '14 20:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru