|
В треугольной призме $%ABCA_1B_1C_1$% точка $%M$% - пересечение медиан грани $%A_1B_1C_1$%. Найти координаты точки пространства в системе координат $%A, AB, AC, AB_1$%, если известны её координаты $%x', y', z'$% в системе координат $%A_1, A_1B, A_1C, A_1M$%. Знаю, что надо составить матрицу перехода и дальше все просто. Но что-то не получается нормально выразить вектора нового базиса. задан 27 Сен '14 21:38 
Curtis Ferdi... |
|
Попробуем обойтись без готовых формул линейной алгебры, связанных с матрицами перехода. Потом можно решить и другим способом, сверяя ответ. Нам дана некая точка $%P$%, для которой по условию выполняется равенство $%\vec{A_1P}=x'\vec{A_1B}+y'\vec{A_1C}+z'\vec{A_1M}$%. Наша цель -- разложить вектор $%\vec{AP}$% по базису $%\vec{AB}$%, $%\vec{AC}$%, $%\vec{AB_1}$%, поэтому начнём с выражения всех векторов предыдущего равенства через векторы с началом $%A$%. Это делается просто: $%\vec{AP}-\vec{AA_1}=x'(\vec{AB}-\vec{AA_1})+y'(\vec{AC}-\vec{AA_1})+z'(\vec{AM}-\vec{AA_1})$%. Далее надо выразить вектор $%\vec{AM}=\frac13(\vec{AA_1}+\vec{AB_1}+\vec{AC_1})$% и подставить это выражение в предыдущее равенство. Заметим, что формула для радиус-вектора точки пересечения медиан не зависит от выбора начала отсчёта. Наконец, надо избавиться от вектора $%\vec{AA_1}$%, выражая его через базисные. Из того, что грань $%AA_1B_1B$% является параллелограммом, следует, что $%\vec{AA_1}=\vec{AB_1}-\vec{AB}$%. Всё остальное -- тождественные алгебраические преобразования. отвечен 27 Сен '14 22:53 
falcao Признаться честно, не понимаю, как из этого мне выйти на уравнения для x, y и z точки.
(28 Сен '14 0:13)
Curtis Ferdi...
@Daniel Alex...: а как у Вас получились такие числа? Там должно быть три буквенных выражения. У меня вектор AP выражается через AB, AC, AA_1, AM. Надо вместо AM подставить то, что написано, учитывая, что AC1=AC+AA1 (про это я забыл упомянуть). Потом привести подобные и заменить AA1=AB1-AB, снова приводя подобные. Только после этого возникнет ответ, и x,y,z будут коэффициентами при AB, AC, AB1.
(28 Сен '14 0:25)
falcao
|