|
Как доказать, что если $%tr(AX) = 0$% и $%trX = 0$%, где $%X$% - квадратная матрица, то $%A$% имеет вид константа $%*E$%. задан 27 Сен '14 21:53 
Leva319 |
|
Сначала докажем, что матрица $%A$% должна быть диагональной, то есть $%a_{km}=0$% при $%k\ne m$%. Выберем в качестве $%X$% матрицу $%e_{mk}$% (одна единица на пересечении $%m$%-й строки и $%k$%-го столбца; остальные нули). Ясно, что след такой матрицы равен нулю, поскольку все числа на главной диагонали нулевые. Перемножим две матрицы: $%AX=\sum\limits_{i,j}a_{ij}e_{ij}\cdot e_{mk}=\sum\limits_{i}a_{im}e_{ik}$%. Нас интересует сумма диагональных элементов этой матрицы, то есть коэффициентов при матрицах вида $%e_{ii}$%. Здесь такой коэффициент всего один, и он равен $%a_{km}$%. Следовательно, $%a_{km}={\rm tr}(AX)=0$%. Осталось доказать, что все элементы на диагонали матрицы $%A$% равны между собой. Для этого достаточно установить, что $%a_{ii}=a_{11}$% при всех $%i > 1$%. Выбираем матрицу $%X=e_{11}-e_{ii}$%. След у неё нулевой, так как это диагональная матрица с единицей на первом месте и числом $%-1$% на $%i$%-м месте; все остальные элементы нулевые. Диагональные матрицы перемножаются поэлементно, поэтому на первом и на $%i$%-м местах главной диагонали у матрицы $%AX$% будут стоять числа $%a_{11}$% и $%-a_{ii}$%. Сумма этих чисел по условию равна нулю, откуда всё следует. отвечен 27 Сен '14 23:16 
falcao |
Здесь чего-то, по-видимому, не хватает. Предположим, что $%X$% -- нулевая матрица. Тогда все условия выполнены для любой матрицы $%A$%. Нужны какие-то ещё условия ограничения.
Действительно, странно выходит. Значит, в условии ошибка.
@Leva319: я думаю, правильной версией условия может оказаться следующее. Рассматриваем квадратные матрицы $%n$%-го порядка. Пусть $%A$% -- такая матрица, что $%tr(AX)=0$% для любой матрицы $%X$% с условием $%tr(X)=0$%. Доказать, что $%A$% -- скалярная матрица.
Да, верно, для любой.