|
Здравствуйте. Нужна помощь в решении контрольной. Важно само решение, можно даже пример решения идентичного задания. Если кому не сложно. :) 1) Является ли функция $%p(x,y)=\max(3|x_1|,4|x_2|)$% нормой на $%R^2$%? 2) Доказать, что функционал $%f:C[-1,1]→R, f(x)=x(-1)-2x(1)$% является линейным и непрерывным, найти его норму. 3) Доказать, что оператор $%A:l_1→l_1, Ax = (\frac{3}{2}x_1,\frac{3}{4}x_2,...,\frac{3}{2^n}x_n,...)$%, где $%x=(x_1,x_2,...) \in l_1$%, есть линейным, непрерывным и найти его норму. @DocentI Пункты 4 и 5 перенесла в другой вопрос, а то слишком длинный ответ. Если хотите, пересоздайте его под своим именем, тогда я свой удалю. 4) Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последовательность операторов $%A_n:C[0,\pi]→C[0,\pi], A_nx(t)=\frac{cos(t)}{\sqrt{n}}x(t)$% 5) Проверить существует ли непрерывный обратный оператор к оператору $%A:l_2→l_2, Ax=(2x_1-x_2,x_2,x_3,x_4,...)$%, где $%x=(x_1,x_2,...) \in l_2$% задан 17 Апр '12 4:01 
root |
|
Первое задание задано неаккуратно. Что является аргументами p - (x, y) или $%(x_1, x_2)$%? Или $%(x_1, x_2)$% - компоненты вектора x? Это противоречит утверждению, что норма задана в $%R^2$%. Будем писать $%(x_1, x_2)$%. Норма удовлетворяет двум свойствам а) однородность б) неравенство треугольника.
Проверим первое. Если y = kx, то $%p(y_1,y_2)=\max(3|kx_1|,4|kx_2|=|k|\max(3|x_1|,4|x_2|)=|k|p(x_1,x_2)$%, свойство выполняется. Неравенство треугольника: $%p(x_1+y_1,x_2+y_2)=\max(3|x_1+y_1|,4|x_2+y_2|)$% должно не превосходить суммы $%\max(3|x_1|,4|x_2|)+\max(3|y_1|,4|y_2|)$%. Пусть, например, в первом максимуме большим является $%3|x_1+y_1|$%. Это выражение не превосходит $%3|x_1|+3|y_1|$% (неравенство треугольника для модуля). Здесь первое слагаемое не больше $%\max(3|x_1|,4|x_2|)$%, второе - $%\max(3|y_1|,4|y_2|)$%. Значит, неравенство треугольника в этом случае выполняется. Аналогично рассматривается второй случай. 2) Линейность, думаю, Вы и сами проверите. Надо подставить в f сумму функций x(t) + y(t). А также kx(t), где k - константа. Что касается нормы, тут сложнее. Не очень хорошо помню, как именно вводится норма для функционала (наверное, есть разные способы). Пусть, например, так: $%\|f\| = \sup \frac{|f(x)|}{\|x\|} $%. Правда, тогда надо выбрать и норму x(t), котороя может быть разной. Например, с заданной интегралом, или sup. Уточните, какая норма функции здесь имеется в виду? Скорее всего в $%C[-1;1]$% нормой будет супремум функции. Достаточно рассмотреть функции, норма которых равна 1, т.е. $%\max|x(t)|=1$%. Для таких функций $%f(x)\le 3$%, причем значение 3 достигается, например, для функции $%x(t)=t$%. Значит, норма f равна 3. 3) В $%l_1$% видимо, нормой будет сумма ряда $%\sum|x_i|$%? Как и в предыдущем случае, рассмотрим все x, для которых эта сумма равна 1. Посмотрим, во сколько раз может увеличить ее преобразование A. Ясно, что не более, чем в 3/2 раза. Это значение достигается для $%x=(1,0,0,...,0...)$%. Непрерывность следует из других свойств. Имеем $%|Ax-Ay|=|A(x-y)|\le 3/2|x-y|<\varepsilon$% при $%|x-y|<2\varepsilon /3=\delta$%. отвечен 17 Апр '12 9:23 
DocentI |
|
5) Существование обратного оператора гарантирует то что $$ kerA=(0) $$ $$ l_{2}$$, это пространство последовательностей, $$ x=(x_{1},x_{2},....,x_{n},....) где \mid x_{n} \mid \leq \frac{1}{ 2^{n} }$$ ,а норма $$ \parallel x \parallel = ({\sum_{i=1}^ \infty | x_{i} | ^{2}})^ {\frac{1}{2}} $$ задаётся. Пространство нормировано оператор линейный и ограниченный $$ => $$ оно непрерывно и обратное тоже отвечен 9 Дек '12 18:53 
Riemann |
Уважаемый участник, пишите, пожалуйста, вопросы текстом на русском языке с формулами в тексте, иначе вопросы будут удаляться.
Условие неясное. Написана функция или ее норма? Что такое x,y,x1,y1, и как они связаны между собой?
Раньше было фото вопросов (6 штук) на украинском языке. По-моему, это неправильный перевод! Сейчас дам свою редакцию. Вот это фото
Уважаемый @ХэшКод. Это Вы переводили вопрос с украинского? Совершенно неверно! На украинском было все понятно. Даже приятно заодно расширить свои лингвистические познания. Разрешите автору задать вопрос самому...
Перевел на русский и обновил вопрос, спасибо за решения! Вопрос открыт.