Доказать $$\lim_{n \rightarrow \infty } ( \frac{ (-1)^{n+1} }{n} )=0$$ (доказать, что предел равен 0), указав для всякого $$ \varepsilon >0$$ число $$N=N( \varepsilon )$$ такое, что $$|x_n|<\varepsilon$$ при $$n>N$$

Для каждого случая заполнить таблицу: $$\varepsilon: 0.1; 0.001; 0.0001; ...$$ $$N:....................$$ Желательно подробно, поскольку пока не умею доказывать такие вещи. Заранее благодарен!

задан 28 Сен '14 16:03

изменен 30 Сен '14 22:45

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Это простой пример: надо записать неравенство $%|a_n-a| < \varepsilon$% и посмотреть, при каких $%n$% оно верно. У Вас $%a=0$%, поэтому получится $%|a_n-a|=|a_n|=1/n < \varepsilon$% (за счёт того, что модуль числа $%(-1)^{n+1}$% равен единице). Это неравенство выполняется при $%n > 1/\varepsilon$%, то есть достаточно положить $%N(\varepsilon)=1/\varepsilon$%.

(28 Сен '14 16:36) falcao

Спасибо. Но все равно не очень понятно, в чем цель доказательства? Чтобы |an−a|<ε выполнялось при заданном ε? Может, вы знаете какой-то определенный алгоритм подобных доказательств?

(28 Сен '14 19:33) Snaut
1

@Tiki_6O: мне кажется, имеет смысл проработать определение предела из учебника. Тогда стало бы ясно, с какой целью рассматривается данное неравенство. Суть в том, что значения $%a_n$% становятся всё ближе и ближе к числу $%a$%. Величина $%\varepsilon > 0$% задаёт степень близости, а число $%N=N(\varepsilon)$% показывает, начиная с какого номера $%n > N$% эта близость будет достигаться.

Способ решения таких задач состоит в анализе неравенств. В данном случае весь анализ свёлся к тому, что $%1/\varepsilon < n$% равносильно $%n > 1/\varepsilon$%. В других случаях может быть чуть сложнее.

(28 Сен '14 19:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×162
×146

задан
28 Сен '14 16:03

показан
465 раз

обновлен
28 Сен '14 19:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru