|
Доказать $$\lim_{n \rightarrow \infty } ( \frac{ (-1)^{n+1} }{n} )=0$$ (доказать, что предел равен 0), указав для всякого $$ \varepsilon >0$$ число $$N=N( \varepsilon )$$ такое, что $$|x_n|<\varepsilon$$ при $$n>N$$ Для каждого случая заполнить таблицу: $$\varepsilon: 0.1; 0.001; 0.0001; ...$$ $$N:....................$$ Желательно подробно, поскольку пока не умею доказывать такие вещи. Заранее благодарен! задан 28 Сен '14 16:03 
Snaut |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
28 Сен '14 16:03
показан
653 раза
обновлен
28 Сен '14 19:39
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Это простой пример: надо записать неравенство $%|a_n-a| < \varepsilon$% и посмотреть, при каких $%n$% оно верно. У Вас $%a=0$%, поэтому получится $%|a_n-a|=|a_n|=1/n < \varepsilon$% (за счёт того, что модуль числа $%(-1)^{n+1}$% равен единице). Это неравенство выполняется при $%n > 1/\varepsilon$%, то есть достаточно положить $%N(\varepsilon)=1/\varepsilon$%.
Спасибо. Но все равно не очень понятно, в чем цель доказательства? Чтобы |an−a|<ε выполнялось при заданном ε? Может, вы знаете какой-то определенный алгоритм подобных доказательств?
@Tiki_6O: мне кажется, имеет смысл проработать определение предела из учебника. Тогда стало бы ясно, с какой целью рассматривается данное неравенство. Суть в том, что значения $%a_n$% становятся всё ближе и ближе к числу $%a$%. Величина $%\varepsilon > 0$% задаёт степень близости, а число $%N=N(\varepsilon)$% показывает, начиная с какого номера $%n > N$% эта близость будет достигаться.
Способ решения таких задач состоит в анализе неравенств. В данном случае весь анализ свёлся к тому, что $%1/\varepsilon < n$% равносильно $%n > 1/\varepsilon$%. В других случаях может быть чуть сложнее.