теория-вероятностей - Центральная предельная теорема

Здесь дано $%n=10^4$% независимых одинаково распределённых случайных величин, каждая из которых равномерно распределена на некотором интервале $%(a;b)$%. Пусть $%\xi$% -- одна из таких величин. Её матожидание равно $%\frac{a+b}2=0$%, а дисперсия находится по формуле $%\frac{(b-a)^2}{12}=\frac{10^{-2m}}{12}$%.

Применяя центральную предельную теорему, заключаем, что случайная величина $%\frac{S_n-MS_n}{\sqrt{DS_n}}$% имеет распределение, близкое к стандартному нормальному, где $%S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$%. Нас интересует такое число $%c$%, для которого с вероятностью $%0.99$% будет иметь место условие $%-c < S_n < c$%. Поскольку $%MS_n=0$% и $%DS_n=\sigma\sqrt{n}$%, где $%\sigma=\sqrt{D\xi}=\frac{10^{-m}}{\sqrt{12}}$%,мы получаем условие $%\frac{|S_n|}{\sigma\sqrt{n}} < \frac{c}{\sigma\sqrt{n}}$%.

Обращаясь к таблицам нормального распределения, находим его квантиль, соответствующую вероятности $%p=0.99$%. Это число $%\alpha=2.58$%. Теперь приравниваем величину из правой части неравенства к найденному значению. Получаем $%c=\alpha\sigma\sqrt{n}$%.

В условии нам дано $%n$%, откуда мы знаем, что $%\sqrt{n}=100$%. Число $%m$% в явном виде не указано. Допустим для примера, что $%m=2$%. Тогда получается $%c\approx0.745$%, то есть суммарная ошибка находится в пределах $%\pm c$%. При $%m=3$% (округление порядка одной тысячной) будет $%c\approx0.075$%, и так далее.