Помогите, пожалуйста, с решением:
Случайная величина $% \xi $% имеет геометрическое распределение с параметром $% p$%. Доказать, что случайная величина $% \eta = p \times \xi\overset{\text{d}}{\to}\xi_{0}$%, $%p \longrightarrow 0$%, где $%\xi_{0}$% имеет показательное распределение с $%\lambda$% = 0.

Обновление

Прошу прощения, $%\lambda$% = 1.

задан 28 Сен '14 17:32

изменен 29 Сен '14 22:27

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Что такое показательное распределение с параметром $%\lambda=0$%? В определении число $%\lambda$% всегда положительно.

(28 Сен '14 18:45) falcao

Теперь условие стало понятно. Сейчас напишу.

(28 Сен '14 19:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

По условию, $%\xi$% принимает значения $%n=1,2,..,n,...$% с вероятностями $%p$%, $%pq$%, ... , $%pq^{n-1}$%, ... , где $%q=1-p$%. Мы рассматриваем произведение $%p\xi$%, которое с этими же вероятностями принимает значения $%p$%, $%2p$%, ... , $%np$%, ... . Это значит, что её характеристическая функция (зависящая от $%p$%) равна $%\varphi(t)=Me^{it\xi}=pe^{itp}+pqe^{2itp}+\cdots+pq^{n-1}e^{nitp}+\cdots=pz(1+qz+(qz)^2+\cdots)=\frac{pz}{1-qz}$%, где $%z=e^{itp}$%.

Теперь надо найти предел значений характеристической функции при $%p\to0$%. Мы имеем $%\varphi(t)=\frac{pz}{1-z+pz}=\frac{z}{z-(z-1)/p}$%. Ясно, что при любом $%t$% функция $%z=e^{itp}$% стремится к $%1$%, а предел частного $%\frac{z-1}p=\frac{e^{itp}-1}p$% представляет собой производную экспоненциальной функции в нуле. Легко видеть, что она равна $%it$%. Поэтому $%\varphi(t)\to\frac1{1-it}$%, то есть характеристическая функция случайной величины $%p\xi$% стремится к х.ф. показательного распределения с параметром $%\lambda=1$%. Из этого следует, что имеет место сходимость по распределению (от слова distribution) $%p\xi\overset{\text{d}}{\to}\xi_0$%.

ссылка

отвечен 28 Сен '14 19:33

Спасибо большое!

(28 Сен '14 19:42) compl
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,214

задан
28 Сен '14 17:32

показан
362 раза

обновлен
28 Сен '14 19:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru