$$\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k} C_{m}^k=C_{m-1}^n,m\geqslant n+1$$ Для чисел, не в общем виде, оно выполняется и тривиально проверяется, а как в общем виде доказать, не пойму.

задан 28 Сен '14 20:07

изменен 29 Сен '14 22:33

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Проверьте условие. Тут в левой части, наверное, какое-то суммирование должно быть?

(28 Сен '14 20:34) falcao

Да, оно и есть, поторопился, не перепроверил условия.

(28 Сен '14 21:04) Linkl
10|600 символов нужно символов осталось
0

Не знаю, может быть тут есть и какая-то более простая интерпретация, но вот то, что мне пришло в голову.

Пусть имеется $%m$% бросаний монетки, которая с вероятностью 1/2 падает одной из двух своих сторон. При фиксированном $%m$% обозначим через $%p_k$% вероятность того, что ровно $%k$% раз из $%m$% выпадал "орёл". Для такой вероятности значение находится по формуле $%p_k=C_m^k/2^m$%. Пусть также $%p_n'$% -- вероятность того, что орёл выпал $%n$% раз при $%m-1$% бросании. Она равна $%p_n'=C_{m-1}^n/2^{m-1}$%.

Разделим обе части равенства на $%2^m$%, получая условие $%p_n-p_{n-1}+p_{n-2}-p_{n-3}+\cdots=\frac12p_n'$%. Пусть $%A$% -- событие, состоящее в том, что орёл выпал $%n$%, или $%n-2$%, или $%n-4$%, ... и так далее раз при $%m$% бросаниях. Соответственно, пусть $%B$% есть событие, при котором орёл выпал $%n-1$%, или $%n-3$%, или $%n-5$%, ... и так далее раз при том же количестве бросаний. Требуется доказать, что $%P(A)-P(B)=\frac12p_n'$%.

Обозначим также через $%A'$% и $%B'$% те же события (то есть выпадение орла столько же раз), но для $%m-1$% бросания. Далее рассмотрим два случая.

При первом бросании с равной вероятностью выпадает орёл или решка. Рассмотрим случай, когда первым выпала "решка". Тогда для того, чтобы имело место событие $%A$%, нужно, чтобы далее (в ходе $%m-1$% бросания) имело место $%A'$%, а для события $%B$%, соответственно, нужно $%B'$%. Это понятно, так как число орлов должно остаться тем же. Теперь пусть первым выпал орёл. Тогда для наступления $%A$% дальнейшее число орлов должно быть принимать одно из значений $%n-1$%, $%n-3$%, ... -- это событие $%B'$%. А для наступления $%B$% должно выпасть одно из значений $%n-2$%, $%n-4$%, ... , а это событие $%A'\setminus C$%, за вычетом события $%C$%, состоящего в выпадении $%n$% орлов при $%m-1$% бросании. Его вероятность у нас была обозначена через $%p_n'$%.

Таким образом, из формулы полной вероятности следует, что $%P(A)-P(B)=\frac12(P(A')-P(B'))+\frac12(P(B')-P(A'\setminus C))=\frac12P(C)=\frac12p_n'$%, что и требовалось установить.

ссылка

отвечен 30 Сен '14 5:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,212
×337
×315
×147
×66

задан
28 Сен '14 20:07

показан
1089 раз

обновлен
30 Сен '14 5:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru