На хорде $%AB$% окружности с центром в точке $%O$% взята точка $%C$%. Описанная окружность треугольника $%AOC$% пересекает исходную окружность в точке $%E$%. Доказать, что $%BC=CE$%.

задан 28 Сен '14 20:39

10|600 символов нужно символов осталось
1

Построим точку $%E'$%, симметричную $%B$% относительно оси $%OC$%. Ось проходит через центр, поэтому окружность отображается на себя, и $%E'$% ей принадлежит. Тогда угол $%CAO$% равен $%CBO$% ввиду $%OA=OB$%, а последний равен $%CE'O$% по построению.

Точки $%A$%, $%B$% лежат в разных полуплоскостях с границей $%CO$%. То же верно для точек $%B$%, $%E'$% ввиду свойств осевой симметрии. Следовательно, $%A$% и $%E'$% лежат в одной полуплоскости. Из этого и из равенства углов $%CAO$%, $%CE'O$% следует, что точки $%C$%, $%A$%, $%E'$%, $%O$% принадлежат одной окружности. Значит, $%E'=E$%. Поэтому $%CE=CE'=CB$% (последнее -- по построению).

Можно было бы не строить точку $%E'$%, а доказывать равенство треугольников $%OBC$% и $%OEC$%. Там будет почти то же самое, но надо следить за равенством двух пар углов, и рассуждение оказывается более длинным.

ссылка

отвечен 28 Сен '14 21:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×760
×258

задан
28 Сен '14 20:39

показан
2355 раз

обновлен
28 Сен '14 21:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru