|
На прямой отмечены точки $%A,B,M,K$% в порядке следования. Известно, что $%AB=a, BM=b, MK=c$%. Через точки $%A,B$% проведена некоторая окружность. Через точки $%M,K$% проведена другая окружность. Эти окружности пересекаются в точках $%P,Q$%. Прямая $%PQ$% пересекает прямую $%AK$% в точке $%X$%. Доказать, что положение этой точки не зависит от выбора окружностей, и найти отношение, в котором точка $%X$% делит отрезок $%AK$%. задан 28 Сен '14 20:42 
student |
|
Ясно, что точка $%X$% находится между $%B$% и $%M$%; положим $%AX=u$%, $%XK=v$%. Тогда $%u+v=a+b+c$%. Перемножая длины отрезков секущих, мы по известному их свойству придём к равенствам $%XA\cdot XB=XP\cdot XQ=XK\cdot XM$%, то есть $%u(u-a)=v(v-c)$%. Получилась система из двух уравнений от двух неизвестных. Она легко решается подстановкой $%v=b-u$% во второе уравнение. В результате упрощений получится линейное уравнение относительно $%u$%, и так же выражается $%v$%. Легко проверить, что $%\frac{u}v=\frac{a+b}{b+c}$%. Это отношение зависит только от длин отрезков и не зависит от выбора окружностей. отвечен 30 Сен '14 0:41 
falcao |