На прямой отмечены точки $%A,B,M,K$% в порядке следования. Известно, что $%AB=a, BM=b, MK=c$%. Через точки $%A,B$% проведена некоторая окружность. Через точки $%M,K$% проведена другая окружность. Эти окружности пересекаются в точках $%P,Q$%. Прямая $%PQ$% пересекает прямую $%AK$% в точке $%X$%. Доказать, что положение этой точки не зависит от выбора окружностей, и найти отношение, в котором точка $%X$% делит отрезок $%AK$%.

задан 28 Сен '14 20:42

изменен 29 Сен '14 21:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ясно, что точка $%X$% находится между $%B$% и $%M$%; положим $%AX=u$%, $%XK=v$%. Тогда $%u+v=a+b+c$%. Перемножая длины отрезков секущих, мы по известному их свойству придём к равенствам $%XA\cdot XB=XP\cdot XQ=XK\cdot XM$%, то есть $%u(u-a)=v(v-c)$%. Получилась система из двух уравнений от двух неизвестных. Она легко решается подстановкой $%v=b-u$% во второе уравнение. В результате упрощений получится линейное уравнение относительно $%u$%, и так же выражается $%v$%. Легко проверить, что $%\frac{u}v=\frac{a+b}{b+c}$%. Это отношение зависит только от длин отрезков и не зависит от выбора окружностей.

ссылка

отвечен 30 Сен '14 0:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,738
×685
×244

задан
28 Сен '14 20:42

показан
751 раз

обновлен
30 Сен '14 0:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru