геометрия - Найти расстояние от точки до прямой

Пусть $%P$%, $%Q$%, $%R$% -- основания перпендикуляров, опущенных из $%X$% на прямые $%MK$%, $%EM$%, $%EK$% соответственно. Докажем подобие треугольников $%XQP$% и $%XPR$%. Четырёхугольники $%XQMP$% и $%XRKP$% являются вписанными, так как имеют по два противоположных прямых угла. Поэтому углы при вершине $%X$% у них будут равны внешним углам при противоположных вершинах $%M$% и $%K$%, но это углы при основании равнобедренного треугольника $%EMK$%. Таким образом, $%\angle QXP=\angle PXR$%.

Теперь сравним углы $%XQP$% и $%XPR$%. Первый из них равен $%XMP$% как вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. По той же причине второй угол равен $%XKR$%. Но тогда это угол между касательной и секущей, и он равен половине угловой величины дуги $%XK$%, как и угол $%XMP$%. Таким образом, рассматриваемые нами треугольники подобны по двум углам, откуда $%XQ:XP=XP:XR$%. Следовательно, расстояние до $%MK$% есть среднее геометрическое расстояний до касательных: $%XP=\sqrt{XQ\cdot XR}$%.