Имеется бесконечная арифметическая прогрессия натуральных чисел с ненулевой разностью. Из каждого ее члена извлекли квадратный корень и, если получилось нецелое число, округлили до ближайшего целого. Может ли быть, что все округления были в одну сторону?

задан 28 Сен '14 20:56

изменен 30 Сен '14 22:59

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Посмотрим на то, в какую сторону округляется каждое из чисел. Пусть $%k=\sqrt{n}$% -- целая часть $%n$%. Тогда $%k\le n < k+1$%. Округление происходит в сторону уменьшения, если $%k\le\sqrt{n} < k+\frac12$%, то есть $%k^2\le n < k^2+k+\frac14$%, что можно записать в виде $%k^2\le n\le k^2+k$%. В остальных случаях округление происходит в сторону увеличения.

Таким образом, все натуральные числа оказываются разделены на два класса. В один из них входят числа, описанные в предыдущем абзаце. Полагая $%k=1,2,3,...$%, мы имеем такой их список: 1,2; 4,5,6; 9,10,11,12; ... и так далее. Для них округление происходит в сторону уменьшения. Второй класс состоит из всех остальных чисел: 3; 7,8; 13,14,15; ... и так далее. У них округление происходит в сторону увеличения.

Вопрос состоит в том, может ли непостоянная арифметическая прогрессия состоять из чисел только одного класса. Ответ отрицательный. Причиной является то, что в каждом из классов имеются сколь угодно длинные части, состоящие из последовательных чисел. Тогда, если разность прогрессии равна $%d$%, то через части длиной $%d$% и более мы не можем "перепрыгнуть". Всегда найдётся такой момент, когда мы из одной части переходим в другую, так как в пределах одной части мы тоже не можем оставаться бесконечно долго.

ссылка

отвечен 28 Сен '14 21:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×95

задан
28 Сен '14 20:56

показан
1820 раз

обновлен
28 Сен '14 21:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru