Привести к рациональному виду знаменатель дроби

Пусть $%x=\sqrt[3]5$%. Надо избавиться от иррациональности в знаменателе выражения $%\frac1{x^2-x-1}$%. Здесь надо осуществить домножение числителя и знаменателя на некоторое число вида $%x^2+px+q$%, где коэффициенты подбираются так, чтобы в произведении $%(x^2-x-1)(x^2+px+q)$% исчезла иррациональность $%x$%.

После раскрытия скобок будет $%x^4+(p-1)x^3+(q-p-1)x^2-(q+p)x-q$%. Поскольку $%x^3=5$% и $%x^4=5x$%, делаем в полученном выражении соответствующие замены, получая $%5x+5(p-1)+(q-p-1)x^2-(q+p)x-q=(q-p-1)x^2+(5-q-p)x+5p-q-5$%. Коэффициенты при $%x^2$% и $%x$% полагаем равными нулю, что приводит к уравнениям $%q-p=1$% и $%q+p=5$%. Ясно, что подходят $%q=3$%, $%p=2$%. Таким образом, надо домножить числитель и знаменатель на $%x^2+2x+3$%, и в знаменателе после этого окажется $%5p-q-5=2$%.