|
На окружности с центром $%O$% расположены точки $%A$% и $%B$%. Точка $%P$% находится на меньшей из дуг $%AB$%, точка $%P_1$% симметрична точке $%P$% относительно прямой $%AB$%. Прямая $%AP_1$% пересекает данную окружность в точке $%B_1$%, а прямая $%BP_1$% в точке $%A_1$%. Докажите, что точки $%P$% и $%B_1$% симметричны относительно прямой $%OB$%, точки $%P$% и $%A_1$% симметричны относительно прямой $%OA$%. задан 29 Сен '14 0:14 
serg55 |
|
Оба утверждения аналогичны. Докажем первое. Рассмотрим следующие равенства величин углов: $%\angle PB_1B=\angle PAB=\angle B_1AB=\angle B_1PB$%. Первое и третье верно по свойству вписанных углов; второе -- в силу симметрии относительно $%AB$%. Из этих равенств следует, что треугольник равнобедренный: $%BP=BB_1$%, Серединный перпендикуляр к $%PB_1$%, проходящий через $%O$%, совпадает с медианой и высотой, которые проходят через вершину $%B$%. Значит, точки $%P$% и $%B_1$% симметричны относительно $%OB$%. отвечен 29 Сен '14 0:37 
falcao |