математический-анализ - Условие выпуклости [закрыт]

Это теоретический факт из учебника. Здесь надо также указывать, какое определение выпуклости берётся за основу в изучаемом курсе: оно может варьироваться. В частности, бывают определения, в которых не предполагается даже дифференцируемость функции.

@falcao: выпуклость - положение графика функции ниже секущей, но проходим именно производные.

@falcao: учебника нет, поэтому не знаю, где это почитать. Может быть, Вы посоветуете какую-либо литературу для 1 курса, пригодную для освоения одиннадцатиклассником?

@student: в принципе, это материал стандартный, то есть годится любая литература. Учебников по матанализу более чем достаточно. Но посоветовать что-то конкретное не так легко, так как разные курсы могут по-разному строиться. Там могут варьироваться определения понятий, изложение может вестись на более сложном или более простом уровне, и так далее. Кстати, утверждение о том, что $%f''(x)$% строго больше нуля, в общем случае неверно: может быть $%f(x)=x$%, хотя это и вырожденный случай. Доказывают обычно в другую сторону, через теорему Лагранжа.

@student: то утверждение, которое здесь сформулировано, является неточным. Даже если не брать вырожденных случаев типа $%f(x)=x$%, можно взять $%f(x)=x^4$% на $%(-1;1)$%. Она выпукла вниз, но производная в нуле равна нулю. Поэтому доказать можно лишь более слабый факт: что вторая производная неотрицательна. Он следует из обратного утверждения, которое можно найти в курсах анализа: если вторая производная отрицательна (положительна), то функция выпукла вверх (вниз). Можно посмотреть учебник Виленкина, Шварцбурда et al для физматшкол.