функции - Образы и прообразы: доказать или опровергнуть равенства

Все такие вещи доказываются по стандартной схеме. Берётся произвольный элемент одного из множеств, и показывается, что он принадлежит другому множеству. Если речь идёт о равенстве множеств, то проверять надо два условия в обе стороны. Особенность этих рассуждений состоит в том, что всё делается совершенно автоматически, если говорить об элементах множеств на языке принадлежности.

1) Если $%y\in f(A\cup B)$%, то существует $%x\in A\cup B$% такой, что $%y=f(x)$%. Если $%x\in A$%, то $%y\in f(A)$%; если $%x\in B$%, то $%y\in f(B)$%. Поэтому всегда $%y\in f(A)\cup f(B)$%. Это рассуждение доказывает, что $%f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup f(B)$%. Обратное включение доказывается аналогично (там даже проще, так как сразу ясно, что $%f(A)$% и $%f(B)$% содержатся в $%f(A\cup B)$%, а тогда и объединение содержится).

2) Берём $%x$% из левой части. По определению, $%f(x)\in A\cup B$%. Рассматриваем два случая. При $%f(x)\in A$% имеем $%x\in f^{-1}(A)$%, аналогично для $%f(x)\in B$%. В итоге $%x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$% для всех элементов. В обратную сторону ещё проще.

3) Здесь как и в первом примере: берём $%y\in f(A\cap B)$%. При этом существует такое $%x\in A\cap B$%, для которого $%y=f(x)$%. Поскольку $%x\in A$%, можно сделать вывод, что $%y=f(x)\in f(A)$%, и аналогично $%y\in f(B)$%. Значит, $%y\in f(A)\cap f(B)$%. Тем самым доказано, что $%f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$%.

Обратное включение в общем случае не выполнено. Контрпример легко строится: $%A=\{a\}$%, $%B=\{b\}$% при $%a\ne b$%, $%X=\{a,b\}$%, $%Y=\{c\}$%, $%f(a)=f(b)=c$%. Тогда левая часть пуста, а правая равна $%\{c\}$%.