$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac {cos2x-cos^5x}{4x^2} = \frac {1}{8}$$ Как решить?

задан 29 Сен '14 21:15

изменен 30 Сен '14 18:01

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Поскольку косинусы стремятся к единице, удобно работать с величинами вида "единица минус косинус", то есть можно переписать функцию в виде $%-\frac{1-\cos2x}{4x^2}+\frac{1-\cos^5x}{4x^2}$%, находя оба предела по отдельности.

Поскольку $%1-\cos2x=2\sin^2x$%, предел первого слагаемого будет равен $%-\frac12$%. Для второго слагаемого используем разложение на множители: $%1-\cos^5x=(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x+\cos^3x+\cos^4x)$%. Выражение в скобках стремится к $%5$%. Частное $%\frac{1-\cos x}{4x^2}$% представляем как $%\frac{2\sin^2\frac{x}2}{4x^2}$%, что стремится к $%\frac18$%. Поэтому предел второго слагаемого равен $%\frac58$%. Складываем оба предела и получаем $%-\frac12+\frac58=\frac18$%.

ссылка

отвечен 29 Сен '14 21:27

Cпасибо!:)

(29 Сен '14 21:42) Daymon96
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×769

задан
29 Сен '14 21:15

показан
634 раза

обновлен
29 Сен '14 21:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru