|
Докажите, что $$C_{k}^{0} - C_{k-1}^{1}+C_{k-2}^{2}-...=(C_{k-1}^{0} - C_{k-2}^{1}+C_{k-3}^{2}-...)-(C_{k-2}^{0} - C_{k-3}^{1}+C_{k-4}^{2}-...)=S_{k-1}- S_{k-2}$$ желательно с помощью мат. индукции. задан 29 Сен '14 21:42 
vovax700 |
|
Я понял условие так: обозначим $%S_n=C_n^0-C_{n-1}^1+C_{n-2}^2-\cdots$%; требуется доказать, что $%S_n=S_{n-1}-S_{n-2}$% при всех $%n\ge0$%. Это значит, что члены последовательности имеют вид 1, 1, 0, -1, -1, 0, и далее всё периодически повторяется. Пусть $%n=2$%; докажем, что $%S_{n}=S_{n-1}-S_{n-2}$%. Воспользуемся известным свойством треугольника Паскаля, согласно которому любое не крайнее его число равно сумме двух соседних элементов предыдущей строки. Отсюда следует, что $%S_{n}$% равно $%C_{n}^0-C_{n-1}^1+C_{n-2}^2-C_{n-3}^3+\cdots=C_{n-1}^0-(C_{n-2}^0+C_{n-2}^1)+(C_{n-3}^1+C_{n-3}^2)-(C_{n-4}^2+C_{n-4}^3)+\cdots$%, где самое первое слагаемое в обоих случаях равно $%1$%. Такую сумму можно записать по-другому, отдельно учитывая вторые слагаемые (а также самое первое), а потом первые. Получится разность двух выражений: $%C_{n-1}^0-C_{n-2}^1+C_{n-3}^2-\cdots$% и $%C_{n-2}^0-C_{n-3}^1+C_{n-4}^2-\cdots$%, то есть $%S_{n-1}-S_{n-2}$%. отвечен 29 Сен '14 22:38 
falcao |