|
Многочлен $%x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$% имеет корни $%\alpha_{1}$%, $%\alpha_{2}$%, $%\alpha_{3}$%, ... , $%\alpha_{n}$%. задан 29 Сен '14 22:15 
ertgeg |
|
По условию, многочлен прадставим в виде $%f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\ldots(x-\alpha_n)$%. Подставим $%x=-1$%. Получится $%(-1)^n+(-1)^{n-1}a_{n-1}+\cdots-a_1+a_0=(-1)^n(1+\alpha_1)\ldots(1+\alpha_n)$%. Домножая обе части на $%(-1)^n$%, имеем в ответе $%1-a_{n-1}+a_{n-2}-\cdots+(-1)^{n-1}a_1+(-1)^na_0$%. отвечен 29 Сен '14 22:23 
falcao |
|
Заметим, что $$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0=(x-\alpha_1)\ldots(x-\alpha_n)=(-1)^n(\alpha_1-x)\ldots(\alpha_n-x).$$ Откуда $%(\alpha_1-x)\ldots(\alpha_n-x)=(-1)^n(x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0)$%. Следовательно, при $%x=-1$% получим $$(\alpha_1+1)\ldots(\alpha_n+1)=1-a_{n-1}+\ldots+(-1)^n a_0.$$ отвечен 29 Сен '14 22:22 
cartesius |