|
$%sinz+cosz=i$% задан 30 Сен '14 1:37 
epimkin |
|
Решение достаточно стандартное. Косинус и синус выражаются через экспоненту $%w=e^{iz}$%. Получается уравнение $%\frac{w+w^{-1}}2+\frac{w-w^{-1}}{2i}=i$%, оно квадратное. Корни равны $%w_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt3}2(1-i)$%. Эти числа легко записываются в тригонометрической (экспоненциальной) форме: $%w_1=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}e^{-\pi/4}$% и $%w_2=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}e^{3\pi/4}$%. Теперь легко найти $%z=a+bi$% в алгебраической форме из условия $%w=e^{iz}=e^{-b+ia}$%. Получаются две серии решений: одна с $%b=\ln\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}$%, $%a=-\frac{\pi}4+2\pi k$%, и другая с $%b=-\ln\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}$%, $%a=\frac{3\pi}4+2\pi k$%, где $%k\in\mathbb Z$%. Их можно объединить в одну: $%z=-\frac{\pi}4+\pi n+(-1)^n\ln\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\cdot i$%. Можно ещё заметить, что $%\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}=2\cos\frac{\pi}{12}$%. отвечен 30 Сен '14 2:28 
falcao @falcao, первый абзац я тоже сделал, дальше не знал, ни разу не сталкивался. Спасибо. Еще сбило с толку, что мне сказали ответ, там арктангенс присутствовал.
(30 Сен '14 13:19)
epimkin
@epimkin: ответ в виде арктангенса возможен, но это неявная форма записи, если берётся арктангенс комплексного числа. Задача его вычисления в явном виде -- примерно такая же по степени сложности. Скажем, тут можно было написать $%\cos(z-\frac{\pi}4)=i\sqrt2$%. Тогда всё выражается через арккосинус, но мы не знаем его значения.
(30 Сен '14 16:13)
falcao
|