матрица - Выражение суммы матриц через произведение с условием

Для небольших значений $%n$% формулы выписать легко, но общая формула получается достаточно сложной: там не так просто уловить закономерность.

Прежде всего, в условии дано, что $%AB-BA=A$%, то есть $%BA=AB-A$%. Далее надо каждое произведение, в котором $%B$% может идти впереди $%A$%, научиться выражать через что-то, где этого не происходит. Например, из того, что $%BA=A(B-E)$% далее получается $%B^2A=BA(B-E)=A(B-E)^2$%, и вообще при любом $%k$% верно равенство $%B^kA=A(B-E)^k$%, где степень разности можно при желании раскрыть по биномиальной формуле.

Также легко заметить, что $%BA^2=(AB-A)A=A\cdot BA-A^2=A(AB-A)-A=A^2B-2A^2=A^2(B-2E)$%. Нетрудно проверить, что при всех $%m$% получается $%BA^m=A^m(B-mE)$%.

Теперь выведем нужные нам формулы для нескольких начальных значений $%n$%.

$%(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+BA+AB+B^2=A^2+2AB+B^2-A$%. Эта формула отличается от обычной наличием дополнительного слагаемого. Далее,

$%(A+B)^3=(A+B)(A+B)^2=A(A+B)^2+B(A+B)^2$%. Это значит, что в предыдущей формуле надо осуществить домножение на $%A$% и на $%B$% слева, а потом сложить. При домножении на $%A$% всё получается просто: $%A^3+2A^2B+AB^2-A^2$%. После домножения на $%B$% надо сделать несколько преобразований по указанным выше вспомогательным формулам. Здесь будет $%BA^2+2BAB+B^3-BA=A^2(B-2E)+2A(B-E)B+B^3-A(B-E)$%. Всё вместе даст после приведения подобных членов формулу $%(A+B)^3=A^3+3A^2(B-E)+A(3B^2-3B+E)+B^3$%. Можно также раскрыть все скобки, чтобы получить явное выражение через матрицы вида $%A^iB^j$%.

Для четвёртой степени аналогичными преобразованиями получается $%(A+B)^4=A^4+4A^3B-6A^3+6A^2B^2-12A^2B+7A^2+4AB^3-6AB^2+4AB-A+B^4$%.

Далее всё ещё более усложняется. Можно указать общие рекуррентные формулы для нахождения коэффициента $%k_{ij}$% при $%A^iB_j$%, получающегося после раскрытия скобок к выражении $%(A+B)^n$%. Коэффициент для следующего показателя степени так будет выражаться через коэффициенты для предыдущих степеней: $%k_{j-1,j}+k_{i,j-1}-ik_{ij}$%. При этом считается, что в случае появления отрицательных нижних индексов коэффициент равен нулю.