линейная-алгебра - Доказать, что если произведение AB матриц определено, то rank(AB)<=min{rank A, rank B}

Рассмотрим такой полезный вспомогательный факт. Умножим матрицу $%A$% размером $%m\times n$% на $%j$%-й единичный столбец $%e_j$%, то есть на столбец, в котором на $%j$%-месте находится единица, а все остальные числа равны нулю. Легко пронаблюдать в соответствии с определением матричного произведения, что получится $%j$%-й столбец матрицы $%A$%.

Теперь рассмотрим произвольный вектор-столбец. Он является линейной комбинацией единичных столбцов с некоторыми коэффициентами: $%k_1e_1+\cdots+k_ne_n$%. Поэтому в результате умножения матрицы $%A$% на этот столбец получится линейная комбинация столбцов матрицы $%A$% (какая именно -- можно не уточнять).

Следующий шаг: умножаем матрицу $%A$% на матрицу $%B$% размером $%n\times k$%. Если выполнить умножение $%A$% на каждый столбец матрицы $%B$% по отдельности, то получится $%k$% столбцов, которые вместе образуют в точности матрицу $%AB$%.

Вывод: столбцы матрицы $%AB$% суть линейные комбинации столбцов матрицы $%A$%. Следовательно, пространство столбцов матрицы $%AB$% является подпространством пространства столбцов матрицы $%A$%, поэтому его размерность не превосходит размерности всего пространства. Это доказывает, что $%{\rm rank}(AB)\le{\rm rank\,}A$%.

Аналогичные утверждения можно доказать для строк матрицы, но можно воспользоваться тем фактом, что при транспонировании ранг матрицы не меняется, поэтому $%{\rm rank}(AB)={\rm rank}(AB)^t={\rm rank}(B^tA^t)\le{\rm rank}(A^t)={\rm rank\,}A$%. Таким образом, $%{\rm rank}(AB)\le\min({\rm rank\,}A,{\rm rank\,}B)$%.