|
Доказать, что если сумма матриц $%A+B$% определена, то $%{\rm rank} \ (A+B) \leq {\rm rank} \ A + {\rm rank} \ B$%. задан 2 Окт '14 2:32 
Saidasafi |
|
Пространство строк $%W$% матрицы $%A+B$% как подпространства в $%{\mathbb R}^n$% содержится в сумме двух подпространств $%W_1+W_2$%, где $%W_1$% ($%W_2$%) -- пространство строк матрицы $%A$% ($%B$%). Поэтому утверждение следует из того, что размерность суммы подпространств не превосходит суммы размерностей. Последнее является следствием формулы $%\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)$%. Сама эта формула доказывается так: выбираем базис пересечения и дополняем до базиса в каждом из двух подпространств $%W_1$%, $%W_2$%. Объединение будет базисом суммы, что легко проверяется. отвечен 2 Окт '14 2:50 
falcao @falcao? thanx) а можно что-то, что было бы понятно для первокурсника-второкурсника, или ссылочку на материал.
(4 Окт '14 5:02)
Saidasafi
Все эти понятия (линейное пространство, подпространство, линейная оболочка, базис, размерность) являются стандартными для линейной алгебры, и этот материал, если брать его в целом, содержится практически в любом учебнике линейной алгебры. Но тут вот какая особенность есть: иногда курс этой дисциплины строится так, что сначала идут определители и прочее, а потом уже следует "абстрактная" часть. Если дело обстоит таким образом, то можно дать другой способ решения, основанный на свойствах определителей, миноров и прочего. Если такой язык более понятен, то я могу привести другое рассуждение.
(4 Окт '14 8:45)
falcao
@falcao да, пожалуй, лучше бы способ, основанный на свойствах определителей, миноров и т.д.
(11 Окт '14 3:18)
Saidasafi
@Saidasafi: есть свойство определителей, называемое линейностью по строкам и столбцам. В частности, если какую-то строку представить в виде суммы, а остальные зафиксировать, то определитель разложится в сумму. Если взять любой минор матрицы $%A+B$%, то его на основании линейности можно разложить в сумму нескольких определителей, у которых строки всевозможным образом сформированы из строк матриц $%A$%, $%B$%. Это аналогично тому, как при раскрытии скобок в выражении $%(a_1+b_1)\ldots(a_m+b_m)$% получится сумма произведений вида $%c_1\ldots c_m$%, где $%c_i$% есть $%a_i$% или $%b_i$%.
(11 Окт '14 8:48)
falcao
ПРОДОЛЖЕНИЕ Пусть ранги $%A$%, $%B$% равны $%r$% и $%s$% соответственно. Допустим, что у матрицы $%A+B$% имеется минор порядка $%> r+s$%. Тогда разложим его описанным выше способом в сумму, и у каждого слагаемого-определителя будет или более $%r$% строк от $%A$%, либо более $%s$% строк от $%B$%, а все такие определители являются нулевыми. Поэтому и рассматриваемый минор матрицы $%A+B$% равен нулю, из чего следует, что ранг $%A+B$% не больше $%r+s$%.
(11 Окт '14 8:51)
falcao
|