Доказать, что если сумма матриц $%A+B$% определена, то $%{\rm rank} \ (A+B) \leq {\rm rank} \ A + {\rm rank} \ B$%.

задан 2 Окт '14 2:32

изменен 2 Окт '14 15:22

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пространство строк $%W$% матрицы $%A+B$% как подпространства в $%{\mathbb R}^n$% содержится в сумме двух подпространств $%W_1+W_2$%, где $%W_1$% ($%W_2$%) -- пространство строк матрицы $%A$% ($%B$%). Поэтому утверждение следует из того, что размерность суммы подпространств не превосходит суммы размерностей. Последнее является следствием формулы $%\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)$%. Сама эта формула доказывается так: выбираем базис пересечения и дополняем до базиса в каждом из двух подпространств $%W_1$%, $%W_2$%. Объединение будет базисом суммы, что легко проверяется.

ссылка

отвечен 2 Окт '14 2:50

@falcao? thanx) а можно что-то, что было бы понятно для первокурсника-второкурсника, или ссылочку на материал.

(4 Окт '14 5:02) Saidasafi

Все эти понятия (линейное пространство, подпространство, линейная оболочка, базис, размерность) являются стандартными для линейной алгебры, и этот материал, если брать его в целом, содержится практически в любом учебнике линейной алгебры. Но тут вот какая особенность есть: иногда курс этой дисциплины строится так, что сначала идут определители и прочее, а потом уже следует "абстрактная" часть. Если дело обстоит таким образом, то можно дать другой способ решения, основанный на свойствах определителей, миноров и прочего. Если такой язык более понятен, то я могу привести другое рассуждение.

(4 Окт '14 8:45) falcao

@falcao да, пожалуй, лучше бы способ, основанный на свойствах определителей, миноров и т.д.

(11 Окт '14 3:18) Saidasafi

@Saidasafi: есть свойство определителей, называемое линейностью по строкам и столбцам. В частности, если какую-то строку представить в виде суммы, а остальные зафиксировать, то определитель разложится в сумму. Если взять любой минор матрицы $%A+B$%, то его на основании линейности можно разложить в сумму нескольких определителей, у которых строки всевозможным образом сформированы из строк матриц $%A$%, $%B$%. Это аналогично тому, как при раскрытии скобок в выражении $%(a_1+b_1)\ldots(a_m+b_m)$% получится сумма произведений вида $%c_1\ldots c_m$%, где $%c_i$% есть $%a_i$% или $%b_i$%.

(11 Окт '14 8:48) falcao

ПРОДОЛЖЕНИЕ

Пусть ранги $%A$%, $%B$% равны $%r$% и $%s$% соответственно. Допустим, что у матрицы $%A+B$% имеется минор порядка $%> r+s$%. Тогда разложим его описанным выше способом в сумму, и у каждого слагаемого-определителя будет или более $%r$% строк от $%A$%, либо более $%s$% строк от $%B$%, а все такие определители являются нулевыми. Поэтому и рассматриваемый минор матрицы $%A+B$% равен нулю, из чего следует, что ранг $%A+B$% не больше $%r+s$%.

(11 Окт '14 8:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,344
×419
×121

задан
2 Окт '14 2:32

показан
2733 раза

обновлен
11 Окт '14 8:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru