тригонометрия - Доказать тригонометрическое равенство

Выразим тангенс через комплексную экспоненту, пользуясь тем, что $%\sin z=\frac{w-w^{-1}}{2i}$%, $%\cos z=\frac{w+w^{-1}}2$%, где $%w=e^{iz}$%. После возведения в квадрат получится, что $%{\rm tg}^2z=-(\frac{w^2-1}{w^2+1})^2$%. Отсюда $%{\rm tg}^2\frac{\pi}{18}=-(\frac{x-1}{x+1})^2$%, где $%x=e^{-i\pi/9}$%. Далее, $%{\rm tg}^2\frac{5\pi}{18}={\rm ctg}^2\frac{2\pi}{9}=-(\frac{x^4+1}{x^4-1})^2$% и $%{\rm tg}^2\frac{7\pi}{18}={\rm ctg}^2\frac{\pi}{9}=-(\frac{x^2+1}{x^2-1})^2$%.

Теперь задача сводится к проверке следующего алгебраического равенства: $$\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^2+\left(\frac{x^4+1}{x^4-1}\right)^2=-9,$$ которое должно быть выполнено для $%x=e^{-i\pi/9}$%.

Заметим, что $%x^9+1=0$%, то есть $%(x^3+1)(x^6-x^3+1)=0$%. Ввиду того, что $%x^3=e^{i\pi/3}\ne-1$%, число $%x$% удовлетворяет уравнению $%x^6=x^3-1$%. Теперь становится возможно прямое вычисление: приводим всё к общему знаменателю, равному $%(x^4-1)^2$%, и проверяем, что многочлен $%(x-1)^4(x^2+1)^2+(x^2+1)^4+(x^4+1)^2+9(x^4-1)^2$% делится на $%x^6-x^3+1$%.