alt text

задан 3 Окт '14 1:18

закрыт 3 Окт '14 3:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Таких чисел имеется бесконечно много. Положим $%x=7y+2$% из последнего условия (все используемые переменные принимают целочисленные значения). Из второго условия $%x-3$% делится на 5, то есть $%2y-1$% кратно 5. То же верно для утроенного числа $%6y-3$%, и это равносильное условие, откуда $%y-3$% делится на $%5$%, то есть $%y=5z+3$%. Из этого мы имеем $%x=7(5z+3)+2=35z+23$%. Осталось учесть, что $%x+1$% делится на $%3$%, что равносильно делимости $%z$% на $%3$%.

Окончательно имеем $%x=105k+23$%, и таких чисел бесконечно много, а наименьшим среди натуральных будет $%23$%.

Этот же метод годен в общем случае. Корректным было бы решение, при котором нужное число находится подбором, с простой проверкой выполнения необходимых условий. Здесь можно заметить, что если мы знаем одно такое число, то знаем и все: разность двух таких чисел делится на 3, 5 и 7, то есть на 105.

ссылка

отвечен 3 Окт '14 1:34

@falcao, "Из второго условия x−3 делится на 5, то есть 2y−1 кратно 5. То же верно для утроенного числа 6y−3". Не поняла, как Вы получили 2y−1 и 6y−3. Объясните, пожалуйста.

(3 Окт '14 1:52) Alena

x-3 делится на 5; по условию, x=7y+2. Это значит, что 7y-1 делится на 5. Вычитаем 5y, чтобы упростить, и приходим к выводу, что 2y-1 делится на 5. Домножение на 3 ничего не меняет в смысле делимости на 5, а выбран этот множитель был из тех соображений, что получается коэффициент 6 при y, что эквивалентно множителю 1 за счёт того же приёма "списывания" 5y, заведомо делящегося на 5. Это всё стандартные приёмы: обычно их применяют при решении сравнений по заданному модулю.

(3 Окт '14 2:03) falcao

@falcao, спасибо!!!

(3 Окт '14 2:07) Alena
10|600 символов нужно символов осталось
2

Это задача основателя Китайской теоремы об остатках - Sun Tsu Suan-Ching: Решается элементарно применяя основные правила CRT (Chinese Remainder Theorem).

Запишем систему линейных сравнений:

$$\begin{cases}x \equiv 2\,\,(\bmod \,3)\\x \equiv 3\,\,(\bmod \,5)\\x \equiv 2\,\,(\bmod\,7)\end{cases}$$

Для нахождения $%x$% используем данную формулу: $$\eqalign{ & x \equiv {B_1}{X_1}{C_1} + {B_2}{X_2}{C_2} + {B_3}{X_3}{C_3} \,\,(\bmod \,B) \cr & B = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105,\,\,\,{B_1} = \frac{B}{{{b_1}}} = \frac{{105}}{3} = 35,\,\,{B_2} = \frac{B}{{{b_2}}} = \frac{{105}}{5} = 21,\,\,{B_3} = \frac{B}{{{b_3}}} = \frac{{105}}{7} = 15 \cr & {C_1} = 2,\,\,\,{C_2} = 3,\,\,\,{C_3} = 2 \cr} $$

Осталось найти $%{X_1},\,\,\,{X_2},\,\,\,{X_3}$%. Согласно CRT: $$\begin{cases}{B_1}{X_1} \equiv 1\,\,(\bmod \,{b_1})\\{B_2}{X_2} \equiv 1\,\,(\bmod \,{b_2})\\{B_3}{X_3} \equiv 1\,\,(\bmod \,{b_3})\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}35{X_1} \equiv 1\,\,(\bmod \,3)\\21{X_2} \equiv 1\,\,(\bmod \,5)\\15{X_3} \equiv 1\,\,(\bmod \,7)\end{cases}$$

$$\eqalign{ & 35{X_1} = 33{X_1} + 2{X_1} \equiv 1\,\,(\bmod \,3) \Leftrightarrow 2{X_1} \equiv 1\,\,(\bmod \,3) \Leftrightarrow 2{X_1} \equiv 4\,\,(\bmod \,3) \Leftrightarrow {X_1} = 2 \cr & 21{X_2} = 15{X_2} + 6{X_2} \equiv 1\,\,(\bmod \,5) \Leftrightarrow 6{X_2} \equiv 1\,\,(\bmod \,5) \Leftrightarrow 6{X_2} \equiv 6\,\,(\bmod \,5) \Leftrightarrow {X_2} = 1 \cr & 15{X_3} = 14{X_3} + {X_3} \equiv 1\,\,(\bmod \,7) \Leftrightarrow {X_3} = 1 \cr} $$

Откуда получается: $$x \equiv 35 \cdot 2 \cdot 2 + 21 \cdot 1 \cdot 3 + 15 \cdot 1 \cdot 2 = 233 \,\,(\bmod \,105)$$

Таких чисел бесконечно много: $%x = \{ 23,\,128,\,233, \ldots \} $%.

ссылка

отвечен 3 Окт '14 2:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,160
×36

задан
3 Окт '14 1:18

показан
732 раза

обновлен
3 Окт '14 3:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru