дифференциальные-уравнения - Дифференциальное уравнение

Преобразовывая, запишем данное уравнение в виде: $$(y - {y^2})dx + x(1 + {y^2})dy = 0$$ Это уравнение с разделяющимися переменными. Поделив сначала на $%y - {y^2}$%, а потом на $%x$%, его можно привести к виду: $$\frac{1}{x}dx + \frac{{1 + {y^2}}}{{y - {y^2}}}dy = 0$$

Интегрируя обе части последнего уравнения, имеем: $$\ln x + \ln \frac{y}{{{e^y} \cdot {{(1 - y)}^2}}} = \ln C$$

В итоге получаем $$\frac{{xy}}{{{e^y} \cdot {{(1 - y)}^2}}} = C,\,\,\,\,\,C \ne 0$$

Это возможно, так $%\ln \left| C \right|$% может принимать любые действительные значения. Получили общий интеграл исходного уравнения. При делении на $%y - {y^2}$% и $%x$% мы могли потерять решения $%y = 0,\,\,\,x = 0$%, но они содержатся в общем интеграле, если подставить дополнительное значение $%C = 0$%. Таким образом, особых решений данное уравнение не имеет.