|
$$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{ x^{n}}{n!}=0$$ Не мог бы кто-нибудь помочь с доказательством этого равенства. Вероятно, нужно применить теорему Вейерштрасса? Но как это сделать? задан 3 Окт '14 21:57 
Snaut |
|
Тут можно многими способами рассуждать. Например, можно доказать, что предел модуля последовательности равен нулю. Тогда сама последовательность тоже будет стремиться к нулю. При $%x=0$% доказываемое утверждение очевидно. Если $%x\ne0$%, то последовательность $%a_n=\frac{|x|^n}{n!}$% имеет положительные члены. В частности, она ограничена снизу. Рассмотрим отношение $%\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{|x|^n}=\frac{|x|}{n+1} < 1$% при $%n\ge|x|$%. Значит, последовательность $%a_n$% монотонно убывает, начиная с некоторого члена. Из этого можно заключить, что она имеет предел, равный некоторому числу $%a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$%. В частности, $%a=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot\frac{|x|}{n+1})=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=a\cdot0=0$%. Другой способ решения можно посмотреть здесь. отвечен 3 Окт '14 22:24 
falcao А если в числителе не x, а просто число, 2 например. Все тоже самое? Да и еще, n - это только натуральные числа? И как мы поняли, что исходная функция ограничена снизу?
(3 Окт '14 22:57)
Snaut
1
Если x=2, то это просто частный случай. Тогда просто можно знак модуля не добавлять. Здесь везде имеются в виду последовательности, то есть n считается натуральным. Было сказано, что все значения положительны, а это значит, что они ограничены снизу нулём.
(3 Окт '14 23:02)
falcao
Все понятно) Забыл спросить, почему мы при икс не равно нулю берем по модулю икс в функции?
(3 Окт '14 23:11)
Snaut
1
Есть такой простой общий факт: если предел $%|a_n|$% равен нулю, то предел $%a_n$% равен нулю. Это сразу следует из определения. Поэтому мы вправе доказать более сильный факт с модулем. А делается это для того, чтобы получить последовательность с положительными членами, которая ограничена снизу.
(3 Окт '14 23:29)
falcao
|
Нет ли описки в условии вопроса? Имеется в виду следующее: которая из величин стремится к бесконечности: $%x$% или $%n\ $%?
@Mather: конечно, там $%n$% должно стремиться к бесконечности. Я даже не заметил этого.