|
Пусть $% \lim_{n \rightarrow \infty } X_n=a$%. Доказать, что $%\lim_{n \rightarrow \infty } \frac {1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)=a$%. задан 5 Окт '14 11:32 
Uchenitsa |
|
Рассмотрим для начала случай, когда $%a=0$%. Для любого $%\varepsilon > 0$% рассмотрим такое натуральное $%N=N(\varepsilon)$%, для которого $%|x_n| < \frac{\varepsilon}2$% при $%n > N$%. Пусть $%C=|x_1+\cdots+x_N|$%. Тогда при всех $%n > \max(N,\frac{2C}{\varepsilon})$% выполняется неравенство $$\left|\frac{x_1+\cdots+x_n}n\right|\le\frac{|x_1+\cdots+x_N|+|x_{N+1}|+\cdots+|x_n|}n < \frac{C}n+\frac{\varepsilon}2 < \varepsilon.$$ Общий случай сводится к только что рассмотренному, если применить доказанный факт к последовательности $%y_n=x_n-a$%, стремящейся к нулю. отвечен 5 Окт '14 11:52 
falcao |
