пределы - Доказать существование предела

Допустим сначала, что существование предела доказано, и пусть он равен $%b\ne0$%. Тогда в равенстве $%x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac{a}{x_n})$% можно перейти к этому пределу, и получится, что $%b=\frac12(b+\frac{a}b)$%. Значение $%b$% находится из полученного уравнения, равносильного $%b^2=a$%. Поскольку члены последовательности положительны, имеем $%b=\sqrt{a}$%.

Осталось доказать существование предела. Прежде всего, $%x_{n+1}\ge\sqrt{a}$% из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом. В частности, последовательность ограничена снизу (что, впрочем, следует и из положительности её членов). Таким образом, $%x_n\ge\sqrt{a}$% при всех $%n > 1$%. Тогда разность соседних членов равна $$x_n-x_{n+1}=\frac12\left(x_n-\frac{a}{x_n}\right)=\frac{x_n^2-a}{2x_n}\ge0$$ при $%n > 1$%, то есть последовательность является невозрастающей, начиная со второго члена. Из сказанного следует, что она имеет предел, равный некоторому числу $%b$%. Нам ещё нужно показать, что предел получается ненулевой. Действительно, $%x_n\ge\sqrt{a}$% при всех $%n > 1$%, откуда $%b\ge\sqrt{a} > 0$%.