|
Матрица Вандермонда размером $%n \times n$% задана в общем виде $$V({z_0},{z_1}, \ldots ,{z_{n - 1}}) = \begin{bmatrix}z_0^0&z_0^1&\cdots &z_0^{n-1}\\z_1^0&z_1^1&\cdots &z_1^{n-1}\\ \vdots &\vdots&\vdots&\vdots \\ z_{n-1}^0&z_{n-1}^1&\cdots &z_{n-1}^{n-1} \end{bmatrix}$$
Вообщем тут нада как-то через пункт 2. показать что если хоть одна пара из $%{z_0},{z_1}, \ldots ,{z_{n - 1}} \in {\Bbb C}$% равна между собой то определитель будет равен нулю. Поэтому все $%{z_0},{z_1}, \ldots ,{z_{n - 1}} \in {\Bbb C}$% должны быть различны между собой для того чтобы определитель не был равен нулю. На Википедии есть доказательство, только оно очень длинное. Хотелось бы увидеть что-нибудь покороче и поэлегантней. задан 6 Окт '14 7:43 
night-raven |
|
Можно предложить достаточно простое доказательство того, что определитель Вандермонда равен произведению попарных разностей, откуда следует и условие обратимости в том числе. Ясно, что если положить $%z_{n-1}=z_i$% при каком-то $%i < n-1$%, то у определителя совпадут строки, и он будет равен нулю. Рассматривая определитель как многочлен относительно переменной $%z_{n-1}$% над кольцом многочленов от остальных переменных и применяя теорему Безу, мы заключаем, что многочлен делится на $%z_{n-1}-z_i$% при каждом $%i$% от $%0$% до $%n-2$%. Далее то же самое делаем для прочих разностей вида $%z_j-z_i$% при $%i < j$%. В итоге получается, что $%V(z_0,\ldots,z_{n-1})=k\prod\limits_{i < j}(z_j-z_i)$%, где $%k$% -- некоторый многочлен. Сравнивая степени и коэффициенты при одночлене, скажем, $%z_{n-1}^{n-1}z_{n-2}^{n-2}\ldots z_1$%, находим, что степень $%k$% равна нулю и $%k=1$%. Надо заметить, что нетривиальная часть состоит только в том, что если все числа $%z_i$% попрано различны, то определитель не равен нулю, и поэтому матрица обратима. В другую же сторону всё очевидно: совпадение чисел даёт совпадение строк, а такой определитель заведомо равен нулю. отвечен 6 Окт '14 9:21 
falcao |