Наибольшее значение определителя матрицы

а) Применим элементарные преобразования. Поскольку есть пример, когда определитель отличен от нуля, мы будем считать, что он ненулевой. Прибавляя ко второй строчке первую, возможно, домноженную на $%-1$%, мы всегда можем добиться, чтобы во второй строке стояли два нуля и $%\pm 2$%. Аналогично для третьей строчки. При этом всегда найдется столбец, в котором и во второй, и в третьей строчке стоят нули. Мы можем считать, что это первый столбец - смена столбцов местами может повлиять только на знак определителя. Но тогда алгебраическое дополнение к элементу $%a_{11}=\pm 1$% имеет в каждой строке по $%0$% и $%\pm 2$%. Считая, что определитель ненулевой, алгебраическое дополнение равно $%\pm 4$%. И сам определитель равен $%a_{11}\cdot(\pm 4)$%. Таким образом, абсолютное значение определителя не превосходит $%4$%.

б) Тоже будем считать, что определитель ненулевой. Если в одной из строк(столбцов) есть два нуля, а третий элемент равен $%1$%, то определитель равен алгебраическому дополнению этого элемента, то есть абсолютное значение определителя равно 1. Будем считать, что в каждой строке(столбце) не более одного нуля. Если в одной из строк (столбцов) нет нулей, то вычитая из нее другую строку, мы получим строку с двумя нулями. Но мы знаем, что тогда определитель равен $%\pm 1$%. Таким образом, мы можем считать, что наш определитель содержит ровно один $%0$% в каждом столбце и каждой строке. Абсолютное значение такого определителя равно двум.