теория-чисел - Теория чисел

1) Рассмотрим число $%x=\sqrt2+\sqrt3$%. Предположим, что оно рационально. Тогда рационален и его квадрат $%x^2=5+2\sqrt6$%, откуда $%\sqrt6=\frac{x^2-5}2$% оказывается рациональным числом, что невозможно.

Второй способ рассуждения: рассмотрим обратное число $%\frac1x=\frac1{\sqrt3+\sqrt2}$%. Домножая числитель и знаменатель на разность корней, имеем $%\frac1x=\sqrt3-\sqrt2$% (в знаменателе получается единица). Тогда числа $%\sqrt3$% и $%\sqrt2$% оказываются соответственно полусуммой и полуразностью чисел $%x$% и $%\frac1x$%. Если бы $%x$% было рациональным, то числа $%\frac12(x\pm\frac1x)$% тоже оказались бы рациональными, но мы знаем, что $%\sqrt2$% заведомо иррационально, то есть такого быть не может.

2) Здесь из описания не совсем понятно, что имеется в виду. Если это было число $%\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}+2\sqrt6$%, то оно рационально, поскольку первое слагаемое после домножения числителя и знаменателя на $%\sqrt3+\sqrt2$% оказывается равно $%\frac{(\sqrt3+\sqrt2)^2}{-(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)} =-(\sqrt3+\sqrt2)^2=-5-2\sqrt6$%, и в сумме со вторым слагаемым получится рациональное число $%-5$%.

3) Здесь подразумевается, что простые числа $%p$%, $%q$%, $%r$% попарно различны, и требуется доказать, что последовательность $%\sqrt{p}$%, $%\sqrt{q}$%, $%\sqrt{r}$% не есть арифметическая прогрессия. Если бы это было так, второе число было бы полусуммой двух других, то есть выполнялось бы равенство $%2\sqrt{q}=\sqrt{p}+\sqrt{r}$%. При возведении в квадрат оказалось бы, что $%4q=p+r+2\sqrt{pr}$%, то есть число $%\sqrt{pr}$% оказалось бы рациональным. Но это не так, поскольку $%pr$% не является точным квадратом ввиду $%p\ne r$%.