Помогите, пожалуйста, решить уравнение с помощью метода малого параметра

$$X’’+X=6µsint-X3$$

задан 18 Апр '12 22:06

перемечен 6 Май '12 13:47

%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%B9%20%D0%AE%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87's gravatar image


3.9k317

X3 это $%X^3 $% ?

(18 Апр '12 22:40) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
0

Существуют несколько методов решения таких задач (см. А.Найфэ Методы возмущений). Все они основаны на тех или иных разложениях по малому параметру. Кстати, сформулированная задача недоопределена, нужно записать еще граничные условия. И знать, до какого порядка проводить разложение (асимптотические разложения всегда конечны). В данном уравнении малый параметр входит только в свободный член, который является ограниченным, поэтому решение будет регулярно в нуле малого параметра, и можно использовать прямое разложение по его степеням. Но, прежде чем это делать, нужно уточнить граничные условия.

Продолжение. Добавленные Вами условия весьма существенны. Итак, нужно получить решение вида $% x(t)=\sum_{k=1}^{\infty} (a_k sin(kt)+b_kcos(kt))$%. Такое решение обращает в ноль левую часть приведенного уравнения, поэтому необходимо удовлетворить правой. Из соображений четности следует, что все $%b_k=0 $% , поэтому получаем уравнение $$ 6 \mu sin(t)- ( \sum_{k=1}^{\infty} a_k sin(kt))^3 = 0$$. Далее следует вместо ряда записать конечную сумму (не менее 3-х слагаемых), возвести ее в куб, преобразовать степени sin по формулам понижения степени, привести подобные и последовательно приравнять нулю коэффициенты при каждом $%sin(pt)$%. Например, приравнивание нулю коэффициента при $%sin(t)$% даст $% 6 \mu - a_1^3 \cdot 3/4 =0$%, откуда $%a_1 = 2 \mu^\frac{1}{3}$%. И т.д.

Ответ на дополнительный вопрос. Нужно оставить фиксированное число гармоник. Например, если мы ограничиваемся одной гармоникой, то следует не только оставить один член в сумме, но еще после понижения степени отбросить члены, содержащие $%sin(2t),sin(3t)$%. В результате в приближении 1 гармоники получится одно уравнение $% 6 \mu - a_1^3 \cdot 3/4 =0$%, а отнюдь не 3. В приближении 3-х гармоник нужно приравнять нулю только коэффициенты при $%sin(t),sin(2t), sin(3t)$%, а члены, соответствующие более высокими гармоникам - отбрасывать.

Примечание. Пользуйтесь значками "двойной доллар" и "доллар с процентом" при разметке, иначе Ваши формулы не читаются.

Продолжение 2. В первом из Ваших уравнений в правой части должно стоять $%6 \mu $%. Полученные уравнения можно решать разложением коэффициентов по степеням $% \mu $%.
Пусть, $$a_k=\sum_{i=k}^\infty \alpha_{ki}\cdot \mu^{\lambda_i}$$, где $% \lambda_{i+1} > \lambda_i$%, а коэффициенты $%\alpha_{ki}$% не зависят от $%\mu $%. В сумме учтено, что $% a_{k+1} = o(a_k)$%. Далее можно решать методом последовательных приближений: сначала оставить в сумме только первое слагаемое, т.е. положить $%a_1=\alpha_{11}\cdot \mu^{\lambda_1} $% , $%a_3=0$%. Получим $%\alpha_{11}=2,\; \lambda_1=1/3 $%. Далее можно воспользоваться Вашим результатом о том, что $% a_2 = 0$%, следовательно, все $%\alpha_{2i}=0$%, и перейти к выражениям $$a_1= \sum_{i=1}^3 \alpha_{1i}\cdot \mu^{\lambda_i}$$ $$a_3= \alpha_{33}\cdot \mu^{\lambda_3}$$, учитывая, что $%\alpha_{11}=2,\; \lambda_1=1/3 $% уже известны.
Степени $%\lambda_2 $% и $%\lambda_3 $% необходимо подобрать из условия одинаковости степеней в слагаемых. В результате должно получиться $%\lambda_3 =1 $%, $%\alpha_{21} =0$%, а коэффициенты $%\alpha_{13}$% и $%\alpha_{33}$% должны соответствовать ответу.

ссылка

отвечен 19 Апр '12 21:43

изменен 3 Май '12 0:23

10|600 символов нужно символов осталось
0

Да, икс в кубе...............

ссылка

отвечен 19 Апр '12 20:57

Найти приближенно переодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения

Ответ 2µ1/3sint-µ(1/12sint+1/4sin3t)+o(µ5/3) мю в степени 1/3 и о от мю в степени 5/3

(19 Апр '12 22:22) Serg
10|600 символов нужно символов осталось
0

Андрей Юрьевич, огромное Вам спасибо!!! Вы мне очень помогли!!!

Записал три члена разложения, возвёл в куб, понизил степени синусов, привёл подобные, сгруппировал, получил сумму синусов с коэффициентами а1, а2, а3, перемноженными между собой в разных степенях, от sint до sin9t последовательно. Приравнял все коэффициенты при синусах к нулю,кроме первого при sint, он равен 6m, получил 9 уравнений с 3 мя неизвестными. В итоге получается а1, а2, а3 все равны 0. Подскажите, пожалуйста, в чём моя ошибка.

ссылка

отвечен 24 Апр '12 11:45

изменен 26 Апр '12 21:15

@Serg, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(24 Апр '12 13:40) DocentI

Извините, пробовал и так. Получается кубическое уравнение, которое не могу решить. В итоге вторая часть ответа (m(1/12sint+1/4sin3t)) не выходит А у Вас ответ сошёлся?

(28 Апр '12 14:15) Serg

Я не делал все выкладки. Решать кубические уравнения в асимптотических разложениях не требуется. Напишите выражение, которое у Вас получилось после понижения степени и отбрасывания высших гармоник, я смогу сказать, что нужно делать дальше.

(30 Апр '12 18:47) Андрей Юрьевич

В третьем приближении коэф. При sint 3/4a_1^3 + 3/2a_1 a_2^2-3/4a_1^2 a_3+3/4a_2^2 a_3+3/2a_1 a_3^2
При sin2t 3/2a_1^2 a_2+3/4a_2^3+3/2a_1 a_2 a_3+3/2a_2 a_3^2 При sin3t -1/4a_1^3+3/4a_1 a_2^2+3/2a_1^2 a_3+3/2a_2^2 a_3+3/4a_3^3

Приравниваем их к нулю Из второго уравнения a_2=0 Получаем два уравнения с двумя неизвестными 3/4a_1^3+3/2a_1 a_3^2-3/4a_1^2 a_3=0 -1/4a_1^3+3/2a_1^2 a_3+3/4a_3^3=0

(2 Май '12 15:46) Serg

Спасибо! Но всё равно у меня получается кубическое уравнение, куда деть кубы. И при этом мю должно быть в степени 1/3, если в правой части стоит 6мю.

(7 Май '12 10:24) Serg

Напишите опять, что получилось, только разметьте формулы так, чтобы они читались.

(7 Май '12 19:36) Андрей Юрьевич
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×791
×2

задан
18 Апр '12 22:06

показан
2394 раза

обновлен
7 Май '12 19:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru