дифференциальные-уравнения - Решение уравнения с помощью метода малого параметра

Существуют несколько методов решения таких задач (см. А.Найфэ Методы возмущений). Все они основаны на тех или иных разложениях по малому параметру. Кстати, сформулированная задача недоопределена, нужно записать еще граничные условия. И знать, до какого порядка проводить разложение (асимптотические разложения всегда конечны). В данном уравнении малый параметр входит только в свободный член, который является ограниченным, поэтому решение будет регулярно в нуле малого параметра, и можно использовать прямое разложение по его степеням. Но, прежде чем это делать, нужно уточнить граничные условия.

Продолжение. Добавленные Вами условия весьма существенны. Итак, нужно получить решение вида $% x(t)=\sum_{k=1}^{\infty} (a_k sin(kt)+b_kcos(kt))$%. Такое решение обращает в ноль левую часть приведенного уравнения, поэтому необходимо удовлетворить правой. Из соображений четности следует, что все $%b_k=0 $% , поэтому получаем уравнение $$ 6 \mu sin(t)- ( \sum_{k=1}^{\infty} a_k sin(kt))^3 = 0$$. Далее следует вместо ряда записать конечную сумму (не менее 3-х слагаемых), возвести ее в куб, преобразовать степени sin по формулам понижения степени, привести подобные и последовательно приравнять нулю коэффициенты при каждом $%sin(pt)$%. Например, приравнивание нулю коэффициента при $%sin(t)$% даст $% 6 \mu - a_1^3 \cdot 3/4 =0$%, откуда $%a_1 = 2 \mu^\frac{1}{3}$%. И т.д.

Ответ на дополнительный вопрос. Нужно оставить фиксированное число гармоник. Например, если мы ограничиваемся одной гармоникой, то следует не только оставить один член в сумме, но еще после понижения степени отбросить члены, содержащие $%sin(2t),sin(3t)$%. В результате в приближении 1 гармоники получится одно уравнение $% 6 \mu - a_1^3 \cdot 3/4 =0$%, а отнюдь не 3. В приближении 3-х гармоник нужно приравнять нулю только коэффициенты при $%sin(t),sin(2t), sin(3t)$%, а члены, соответствующие более высокими гармоникам - отбрасывать.

Примечание. Пользуйтесь значками "двойной доллар" и "доллар с процентом" при разметке, иначе Ваши формулы не читаются.

Продолжение 2. В первом из Ваших уравнений в правой части должно стоять $%6 \mu $%. Полученные уравнения можно решать разложением коэффициентов по степеням $% \mu $%.
Пусть, $$a_k=\sum_{i=k}^\infty \alpha_{ki}\cdot \mu^{\lambda_i}$$, где $% \lambda_{i+1} > \lambda_i$%, а коэффициенты $%\alpha_{ki}$% не зависят от $%\mu $%. В сумме учтено, что $% a_{k+1} = o(a_k)$%. Далее можно решать методом последовательных приближений: сначала оставить в сумме только первое слагаемое, т.е. положить $%a_1=\alpha_{11}\cdot \mu^{\lambda_1} $% , $%a_3=0$%. Получим $%\alpha_{11}=2,\; \lambda_1=1/3 $%. Далее можно воспользоваться Вашим результатом о том, что $% a_2 = 0$%, следовательно, все $%\alpha_{2i}=0$%, и перейти к выражениям $$a_1= \sum_{i=1}^3 \alpha_{1i}\cdot \mu^{\lambda_i}$$ $$a_3= \alpha_{33}\cdot \mu^{\lambda_3}$$, учитывая, что $%\alpha_{11}=2,\; \lambda_1=1/3 $% уже известны.
Степени $%\lambda_2 $% и $%\lambda_3 $% необходимо подобрать из условия одинаковости степеней в слагаемых. В результате должно получиться $%\lambda_3 =1 $%, $%\alpha_{21} =0$%, а коэффициенты $%\alpha_{13}$% и $%\alpha_{33}$% должны соответствовать ответу.