Для каждого значения параметра $%a$% определите количество корней уравнения: $$ax^2+(a+x)^2x+a+2=0$$

задан 7 Окт '14 20:12

изменен 7 Окт '14 20:14

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Там точно $%(a+x)^2$%?

(7 Окт '14 20:18) cartesius

Да, точно так.

(7 Окт '14 20:31) Ekzo609

Думаю, все же опечатка, но если нет, то мы имеем кубическое уравнение $%x^3+3ax^2+a^2x+a+2=0$%. Можно попытаться найти количество его корней.


А ответ имеется? По нему можно определить, есть ли опечатка.

(7 Окт '14 20:59) cartesius

ответа нет

(7 Окт '14 21:43) Ekzo609
1

Думаю, тут явная опечатка в условии.

(7 Окт '14 23:50) falcao

Да, там все же есть опечатка в уравнении $%(а+1)^2$%.

(8 Окт '14 17:52) Ekzo609
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для исправленного варианта $$ax^2+(a+1)^2x+a+2=0$$ при $%a=0$% корень один, а при $%a\ne0$% получается квадратное уравнение с дискриминантом $%D=(a+1)^4-4a(a+2)=(a+1)^4-4(a+1)^2+4=((a+1)^2-2)^2\ge0$%. Корни есть всегда, и их два при $%D\ne0$%. Исключение составляют случаи $%a=-1\pm\sqrt2$%, когда корень всего один.

ссылка

отвечен 8 Окт '14 18:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

Приведу возможную схему решения.

Найдем точки локального минимума и максимума исходной функции: $%3x^2+6ax+a^2=0$%. Ясно, что при $%a\neq 0$% всегда будет одна точка минимума и одна точка максимума. Пусть они достигаются при $%x_1$% и $%x_2$%. Тогда если $%f(x_1)=0$% или $%f(x_2)=0$%, то имеем 2 корня, если $%f(x_1)f(x_2)<0$% - 3 корня, в остальных случаях 1 корень.

Если посчитать, то $%x_{1,2}=-a(1\pm \sqrt{2/3})$%.

ссылка

отвечен 7 Окт '14 21:06

изменен 7 Окт '14 21:06

10|600 символов нужно символов осталось
0

В задаче явно присутствует опечатка, потому что аналитическими способами вычисления получаются довольно проблематичными. Даже приходится прибегать к приближенным значениям.

Приближенное Решение:

Заметим, что первые три слагаемых уравнения $%{x^3} + 3a{x^2} + {a^2}x + a + 2 = 0$% однородны со спепенью 3. Можно использовать данный факт, чтобы сделать удачную замену. Для начала заметим, что если $%a = 0$% то уравнение сводится $%{x^3} = - 2 \Leftrightarrow x = \root 3 \of { - 2} $%.

Пусть $%a \ne 0$%, разделим левую и правую часть на $%{a^3}$% и получим: $${\left( {\frac{x}{a}} \right)^3} + 3{\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} + \left( {\frac{x}{a}} \right) = - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}}$$

Сделаем две замены: $$\frac{x}{a} = y,\,\,\, - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} = t$$

Задача сводится к нахождению кол-ва корней уравнения $%{y^3} + 3y^2 + y = t$% при всех значениях параметра $%t$%.

Начертим график функции $%f(y) = {y^3} + 3y^2 + y$% и исследуем его на экстремум.

alt text

Получаем: $${\text{Точка минимума }}{x_1} = - 1 + \sqrt {\frac{2}{3}} ,\,\,\,\,f({x_1}) = \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 )$$ $${\text{Точка максимума }}{x_2} = - 1 - \sqrt {\frac{2}{3}} ,\,\,\,\,f({x_1}) = \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$

По графику видно, что уравнение $%f(y) = {y^3} + 3y^2 + y$% имеет

одно решение при $$t \in ( - \infty ;\frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 )) \cup (\frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 );\infty )$$ два решения при $$t = \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 ){\text{ или }}t = \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$ три решения при $$t \in (\frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 );\frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 ))$$

Прибегая к обратной замене:

Одно решение при $$ - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} < \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 ){\text{ или }} - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} > \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$ $$a \in ( \approx - 0.825;\,\, \approx 4.097)$$

Два решения при $$ - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} = \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 ){\text{ или }} - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} = \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$ $$a \approx - 0.825{\text{ или }}a \approx 4.097$$

Три решения при $$ - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} > \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 ){\text{ или }} - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} < \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$ $$a \in ( - \infty ;\, \approx - 0.825){\text{ }} \cup {\text{ }}a \in ( \approx 4.097;\,\infty )$$

ссылка

отвечен 8 Окт '14 1:38

изменен 8 Окт '14 9:32

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,212
×873
×492

задан
7 Окт '14 20:12

показан
6692 раза

обновлен
8 Окт '14 18:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru