алгебра - Как определить количество корней уравнения?

Приведу возможную схему решения.

Найдем точки локального минимума и максимума исходной функции: $%3x^2+6ax+a^2=0$%. Ясно, что при $%a\neq 0$% всегда будет одна точка минимума и одна точка максимума. Пусть они достигаются при $%x_1$% и $%x_2$%. Тогда если $%f(x_1)=0$% или $%f(x_2)=0$%, то имеем 2 корня, если $%f(x_1)f(x_2)<0$% - 3 корня, в остальных случаях 1 корень.

Если посчитать, то $%x_{1,2}=-a(1\pm \sqrt{2/3})$%.

В задаче явно присутствует опечатка, потому что аналитическими способами вычисления получаются довольно проблематичными. Даже приходится прибегать к приближенным значениям.

Приближенное Решение:

Заметим, что первые три слагаемых уравнения $%{x^3} + 3a{x^2} + {a^2}x + a + 2 = 0$% однородны со спепенью 3. Можно использовать данный факт, чтобы сделать удачную замену. Для начала заметим, что если $%a = 0$% то уравнение сводится $%{x^3} = - 2 \Leftrightarrow x = \root 3 \of { - 2} $%.

Пусть $%a \ne 0$%, разделим левую и правую часть на $%{a^3}$% и получим: $${\left( {\frac{x}{a}} \right)^3} + 3{\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} + \left( {\frac{x}{a}} \right) = - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}}$$

Сделаем две замены: $$\frac{x}{a} = y,\,\,\, - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} = t$$

Задача сводится к нахождению кол-ва корней уравнения $%{y^3} + 3y^2 + y = t$% при всех значениях параметра $%t$%.

Начертим график функции $%f(y) = {y^3} + 3y^2 + y$% и исследуем его на экстремум.

Получаем: $${\text{Точка минимума }}{x_1} = - 1 + \sqrt {\frac{2}{3}} ,\,\,\,\,f({x_1}) = \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 )$$ $${\text{Точка максимума }}{x_2} = - 1 - \sqrt {\frac{2}{3}} ,\,\,\,\,f({x_1}) = \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$

По графику видно, что уравнение $%f(y) = {y^3} + 3y^2 + y$% имеет

одно решение при $$t \in ( - \infty ;\frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 )) \cup (\frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 );\infty )$$ два решения при $$t = \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 ){\text{ или }}t = \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$ три решения при $$t \in (\frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 );\frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 ))$$

Прибегая к обратной замене:

Одно решение при $$ - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} < \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 ){\text{ или }} - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} > \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$ $$a \in ( \approx - 0.825;\,\, \approx 4.097)$$

Два решения при $$ - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} = \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 ){\text{ или }} - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} = \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$ $$a \approx - 0.825{\text{ или }}a \approx 4.097$$

Три решения при $$ - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} > \frac{1}{9}(9 - 4\sqrt 6 ){\text{ или }} - \frac{{a + 2}}{{{a^3}}} < \frac{1}{9}(9 + 4\sqrt 6 )$$ $$a \in ( - \infty ;\, \approx - 0.825){\text{ }} \cup {\text{ }}a \in ( \approx 4.097;\,\infty )$$