|
$$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{ (1+x)^{5}- (1+5x) }{ x^{2}+ x^{5} } $$ и $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ x+ x^{2}+...+ x^{n} -n }{x-1} $$ Помогите найти. В ответах указано $%10$% и $%\frac {n(n+1)}{2}$% соответственно. В первом, вероятно, надо использовать неравенство Бернулли? задан 8 Окт '14 5:02 
Snaut |
|
Ответ в первом будет $%10$% при условии, что $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{{{{(1 + x)}^5} - (1 + 5x)}}{{{x^2} + {x^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,(10 + 10x + 5{x^2} - 9{x^3} - 10{x^4} + O({x^5})) = 10$$ При вашем условии $$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{{(1 + x)}^5} - (1 + 5x)}}{{{x^2} + {x^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\,(1 + \frac{5}{x} + \frac{{10}}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{x^3}}} + O({(\frac{1}{x})^4})) = 1$$ Насчет второго примера: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\frac{{x + {x^2} + \ldots + {x^n} - n}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,(\frac{{n + \frac{1}{2}n(n + 1)(x - 1) + O({{(x - 1)}^2}) - n}}{{x - 1}}) = \frac{{n(n + 1)}}{2}$$ отвечен 8 Окт '14 7:53 
night-raven 2
@void_pointer, не сочтите за наезд, но зачем так сложно решать такие простые примеры?... В первом надо просто раскрыть скобки в числителе и привести подобные... после сокращения на $%x^2$% в первом варианте, получаем простейший предел, вычисляемый подстановкой нуля... (во втором варианте, после преобразования числителя, делим на $%x^5$% и получаем ответ... ) Во втором примере можно числитель сгруппировать $%x^k - 1$%... и сократить каждое слагаемое со знаменателем ... потом подставили и посчитали сумму арифметической прогрессии...
(8 Окт '14 9:33)
all_exist
1
@all_exist А что тут сложного? Формулу Тэйлора нада знать, но без нее тоже можно, как вы говорите. По мне, так это простые примеры, как ранее и сказал falcao.
(8 Окт '14 13:13)
night-raven
1
@void_pointer, я ничего не имею против формулы Тейлора... но эти примеры вряд ли на неё... Это примеры первого семестра, когда про Тейлора ещё не слышали...
(8 Окт '14 15:03)
all_exist
Спасибо всем!
(8 Окт '14 16:47)
Snaut
@void_pointer, что-то не пойму, как вы решали пример 2)... через прогрессию...
(8 Окт '14 18:13)
Snaut
|
|
Второй предел можно легко найти элементарными методами. "Разбросаем" число $%n$% на $%n$% единиц, группируя их с каждой степенью $%x,$% после чего сократим дробь на $%x-1$% и перейдём к пределу: $$\lim\limits_{x \to 1} \,\dfrac{{x + {x^2} + \ldots + {x^n} - n}}{{x - 1}} =\lim\limits_{x \to 1} \,\dfrac{{(x-1) + {(x^2-1)} + \ldots + {(x^n-1)} }}{{x - 1}} = \\ =\lim\limits_{x \to 1} \,{{1 + {(x+1)} + \ldots + {(1+x+x^2+\ldots+x^{n-1})} }}=1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$$ отвечен 8 Окт '14 20:47 
Mather |