Урна содержит $%M$% шаров, из которых $%M_1$% - шары белого цвета. Рассматривается выбор объема $%n$%. Пусть $%B_j$%- событие, состоящее в том, что извлеченный на $%j$%-м шаге шар имел белый цвет, а $%A_k$% событие, состоящее в том, что в выборке объема $%n$% точно $%k$% белых шаров. Показать что как для выбора с возвращением, так и для выбора без возвращения $%P(B_j|A_k)=k/n$%. Через классическую схему как-то не получается.

задан 8 Окт '14 12:57

изменен 11 Окт '14 21:05

Здесь хотелось бы уточнить, на каком уровне и на каком языке должно происходить доказательство, то есть что разрешается использовать. С точки зрения здравого смысла, это факт очевиден, и такого рода соображениями всё легко можно обосновать. Условные вероятности -- это искусственный аппарат, и сами по себе они вообще не нужны. Другое дело, если надо "академически" что-то доказать, то есть формально обосновать очевидный ответ на уровне каких-то формул и неудачно выбранной модели описания.

(11 Окт '14 21:27) falcao

Да, нужно именно формально обосновать через условные вероятности

(11 Окт '14 22:22) Jhon
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для схемы с возвращением имеем следующее. Элементарным событием будем считать последовательность номеров извлекаемых шаров, которая имеет длину $%n$%. Общее число таких последовательностей равно $%m^n$%, что в дальнейшем роли играть не будет. Все такие события считаются равновероятными.

Рассмотрим событие $%A_k$%, когда ровно $%k$% номеров из $%n$% соответствуют белым шарам. Эти номера располагаются на $%k$% местах из $%n$%, выделить которые можно $%C_n^k$% способами. Для каждого из этих $%k$% мест можно $%m_1$% способами выбрать один из белых шаров, что вместе даёт $%m_1^k$% вариантов. На остальных местах стоят не белые шары, и способов их размещения будет $%(m-m_1)^{n-k}$%. В итоге $%|A_k|=C_n^km_1^k(m-m_1)^{n-k}$%. Это мощность соответствующего конечного множества, рассматриваемого как множество элементарных событий.

Теперь сделаем то же с событием $%B_jA_k$%, где $%j$% -- фиксированное место. На нём можно расположить белый шар $%m_1$% способами. Остальные места для расположения белых шаров выбираются $%C_{n-1}^{k-1}$% способами, что домножается на $%m_1^{k-1}$% с учётом способов выбора таких шаров. Для расположения не белых шаров, как и выше, имеем $%(m-m_1)^{n-k}$% способов. Это даёт $%|B_jA_k|=C_{n-1}^{k-1}m_1^k(m-m_1)^{n-k}$%.

По определению условной вероятности, $%P(B_j\mid A_k)=\frac{P(B_jA_k)}{P(A_k)}$%. В свою очередь, в соответствии с классическим определением вероятности, это не что иное как $%\frac{|B_jA_k|}{|A_k|}=\frac{C_{n-1}^{k-1}}{C_n^k}$%, где остальные множители сокращаются. С учётом формулы для числа сочетаний, получится $%\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}:\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{k}n$%.

Вариант схемы без возвращения рассматривается аналогично. Разница только в том, что вместо множителей $%m_1^k$% и $%(m-m_1)^{n-k}$%, соответствующих случаю размещения с повторениями, появятся числа $%A_{m_1}^k$% и $%A_{m-m_1}^{n-k}$%, соответствующие размещениям без повторений. Эти числа так же точно сократятся, потому что в обоих случаях подсчитывается число размещений на зафиксированных местах в одинаковом количестве. Специфика $%j$%-го места никакой роли не играет, так как она учитывается лишь при подсчёте сочетаний из $%n-1$% по $%k-1$%. В итоге получится то же отношение сочетаний с тем же ответом.

ссылка

отвечен 12 Окт '14 3:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,497
×267
×160

задан
8 Окт '14 12:57

показан
553 раза

обновлен
12 Окт '14 3:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru