|
Сформулировать по определению предела выражения: $$1) \lim_{x \rightarrow \infty } f(x)= \infty ; 2)\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)= -\infty ; 3)\lim_{x \rightarrow -\infty } f(x)= -\infty ; 4)\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)= -\infty ; 5)\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)= -\infty ;$$ Правильно?: $$ 1)\forall \varepsilon>0, \exists \delta, \forall x: 0<|x-a|<\delta, |f(x)|> \varepsilon$$ $$ 2)\forall \varepsilon>0, \exists \delta, \forall x: 0<|x-a|<\delta, f(x)< \varepsilon$$ $$ 3)\forall \varepsilon>0, \exists \delta, \forall x: -\delta < x-a < 0 , f(x)< \varepsilon$$ $$ 4)\forall \varepsilon>0, \exists \delta, \forall x: 0 < |x-a| < \delta , f(x)< \varepsilon$$ $$ 5)\forall \varepsilon>0, \exists \delta, \forall x: 0 < x-a < \delta , f(x)< \varepsilon$$ задан 8 Окт '14 19:54 
Snaut |
|
Следует заметить, что
поэтому эти определения будут иметь вид $$ 1)\;\; \forall \varepsilon>0,\; \exists \delta_{\varepsilon}=\delta(\varepsilon)>0\colon\; \forall x,\; 0<\dfrac{1}{|x|}<\delta_{\varepsilon},\; |f(x)|> \varepsilon $$ Первое определение можно записать также в виде $$1')\;\; \forall \varepsilon>0,\; \exists \delta_{\varepsilon}=\delta(\varepsilon)>0,\; \forall x:\; {|x|}>\dfrac{1}{\delta_{\varepsilon}},\; |f(x)|> \varepsilon $$ $$ 2)\;\; \forall \varepsilon>0,\; \exists \delta_{\varepsilon}=\delta(\varepsilon)>0,\; \forall x:\; {|x|}>\dfrac{1}{\delta_{\varepsilon}}, \; f(x)< -\varepsilon $$ Определения $%1')$% и $%2)$% можно формулировать и так: $$ 1'')\;\; \forall \varepsilon>0,\; \exists M_{\varepsilon}=M(\varepsilon)>0,\; \forall x:\; {|x|}>M_{\varepsilon},\; |f(x)|> \varepsilon \\ 2')\;\; \forall \varepsilon>0,\; \exists M_{\varepsilon}=M(\varepsilon)>0,\; \forall x:\; {|x|}>M_{\varepsilon}, \; f(x)< -\varepsilon $$ Остальные определения записываются аналогичным образом. отвечен 8 Окт '14 20:31 
Mather |