|
$%\pi + 6/5(x^2+ax)+\cos(x^2+ax)+\sin(2x^2+2ax+\pi/3)<0$% Найти все $%a$%, при которых любое решение неравенства принадлежит отрезку $%[\pi/2;3\pi/2]$%. задан 8 Окт '14 22:35 
stander |
|
Задача похожа на эту, но здесь вычисления более трудоёмкие. Положим $%y=x^2+ax$%. Тогда $%\pi+\frac65y+\cos y+\sin(2y+\frac{\pi}3) < 0$%. Сделаем дополнительную замену $%z=\pi+\frac65y$%. Тогда получается неравенство $%z+\cos(\frac56z-\frac56\pi)+\sin(\frac53z+\frac23\pi) < 0$%. Используя формулы приведения, можно то же переписать в виде $%z-\cos(\frac56z+\frac16\pi)+\cos(\frac53z+\frac16\pi) < 0$%, а также в виде $%z < 2\sin(\frac54z+\frac16\pi)\sin\frac5{12}z$%. Понятно, что при $%z=0$% имеет место равенство. Докажем, что при $%z > 0$% левая часть больше правой, а при $%z < 0$% наоборот. Модуль правой части не превосходит $%2|\sin\frac5{12}z| < \frac56|z| < z$% при положительных $%z$%, откуда следует первое утверждение, а для отрицательных $%z$% сделаем замену $%t=-z > 0$%, аналогично получая, что $%t > 2\sin(-\frac54t+\frac16\pi)\sin\frac5{12}t$%, откуда следует второе утверждение. Таким образом, неравенство равносильно $%z < 0$%, что означает $%x^2+ax+\frac56\pi < 0$%. Осталось понять, при каких $%a$% множество решений этого неравенства относительно $%x$% будет подмножеством отрезка $%[\frac{\pi}2;\frac{3\pi}2]$%. Если $%D=a^2-\frac{10}3\pi\le 0$%, то множество решений пусто, и тогда оно содержится в любом отрезке. Пусть $%a^2 > \frac{10}3\pi$%. Тогда множество решений неравенства имеет вид $%(x_1;x_2)$%, и должны иметь место неравенства $%\frac{\pi}2\le x_1=\frac{-a-\sqrt{D}}2$% и $%\frac{-a+\sqrt{D}}2=x_2\le\frac{3\pi}2$%. Это значит, что $%\sqrt{D}\le3\pi+a$%, $%\sqrt{D}\le-\pi-a$%. Понятно, что $%a$% должно быть отрицательным ввиду $%-\pi-a > 0$%. Поэтому считаем, что $%a < -\sqrt{\frac{10}3\pi}$%, что меньше $%-\pi$%. Также мы знаем, что $%3\pi+a > 0$%, то есть $%a\in(-3\pi;-\sqrt{\frac{10}3\pi})$%. На этом интервале можно оба неравенства возвести в квадрат. Получится $%a^2-\frac{10}3\pi\le9\pi^2+6\pi a+a^2$% и $%a^2-\frac{10}3\pi\le\pi^2+2\pi a+a^2$%, откуда $%a\ge-\frac59-\frac32\pi$% и $%a\ge-\frac53-\frac{\pi}2$%. Первое из этих двух неравенств, очевидно, слабее второго, поэтому его можно не учитывать. Остаётся сравнить числа $%-\frac53-\frac{\pi}2$% и $%-\sqrt{\frac{10}3\pi}$%. Поскольку $%(\frac53+\frac{\pi}2)^2-\frac{10}3\pi=(\frac53-\frac{\pi}2)^2 > 0$%, имеет место неравенство $%\frac53+\frac{\pi}2 > \sqrt{\frac{10}3\pi}$%, то есть ограничения на $%a$% принимают вид $%a\in[-\frac53-\frac{\pi}2;-\sqrt{\frac{10}3\pi})$%. Это случай тех $%a$%, для которых у неравенства есть решения, и к ним нужно добавить отрезок $%a\in[-\sqrt{\frac{10}3\pi};\sqrt{\frac{10}3\pi}]$%, когда решений нет. Окончательно имеем $%a\in[-\frac53-\frac{\pi}2;\sqrt{\frac{10}3\pi}]$%. отвечен 9 Окт '14 4:02 
falcao @falcao, мне кажется, вы ошиблись. Возмем $%a = - 1$% из вашего ответа. Тогда неравенство должно выполнятся для любого $%x \in [\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}]$%. Но при данных значениях левая часть положительна и принимает все значения из отрезка $%x \in [ \approx 2.82;\,\, \approx 20.45]$%, что никак не может быть меньше нуля.
(9 Окт '14 5:14)
night-raven
@void_pointer: в условии говорится о другом. Там не сказано, что все числа от чего-то до чего-то являются решениями неравенства. Это была бы другая задача. Там говорится о том, что все решения должны принадлежать отрезку, то есть нет решений за его пределами. А их вообще нет, поэтому $%a=-1$% входит в ответ. @stander: я, конечно, мог ошибиться, но решение я проверял. Здесь значения $%a$% близкие к $%-\infty$% не подходят. Видимо, имеет место разночтение с условием. Указанный Вами ответ подходит для похожей (и более простой) задачи: когда все $%x$% из отрезка будут решениями.
(9 Окт '14 10:35)
falcao
@falcao Но если решений нет, то как они могут принадлежать указанному промежутку?
(9 Окт '14 10:48)
night-raven
@void_pointer: это чисто логический момент: если множество пусто, то все его элементы обладают каким угодно свойством. Такое высказывание всегда будет истинно (типа: "все элементы пустого множества -- летающие бегемоты"), поскольку контрпримера не существует.
(9 Окт '14 10:55)
falcao
@stander: для ясности хотелось бы добавить следующее. Пусть $%A$% -- множество решений неравенства (оно зависит от $%a$%). В условии говорится о том, что $%A\subseteq[\pi/2;3\pi/2]$%. В этом случае ответ будет такой, как у меня написано. Если же условие поменять на $%[\pi/2;3\pi/2]\subseteq A$% (когда все числа отрезка будут решениями), то получится такой ответ, который приведён в книге. Имеет смысл точно проверить, каков был оригинал условия.
(9 Окт '14 10:59)
falcao
@falcao ну, тогда приношу извинения, у вас все верно. Значит, я изначально неверно понял задание.
(9 Окт '14 11:21)
night-raven
@falcao, и все-таки насчет логического момента не согласен. Допустим, у нас пустое множество, мы все равно не вправе придумать решения если их нет. Возьмем пример, когда дискриминант квадратного уравнения отрицателен, а нам нужно, например, найти какие-то корни. Так как, допустим, множество пустое, потому что функция либо полностью больше нуля, либо меньше. Но ведь это не дает нам права придумать эти корни?
(9 Окт '14 11:54)
night-raven
@falcao, В данном случае я с узким интервалом полностью согласен. А вот дальше, как вы говорите, мы можем придумать все что угодно, так как множество пустое. Ну а как тогда при таких значениях параметра будет звучать решение неравенства? Ведь мы не найдем ни одного х, которое нам удовлетворит. Как мы тогда запишем ответ? Если честно, мне кажется, это относится к случаю $%{0^0}$%, который можно трактовать как угодно.
(9 Окт '14 11:54)
night-raven
@void_pointer: логический момент достаточно простой, и мне странно, что осознание происходит с трудом. Никто же не говорит, что действительные корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом существуют? Напротив, как раз говорится, что их нет, то есть множество корней пусто. А тогда оно, как пустое множество, является подмножеством чего угодно. Например, отрезка $%[-7;11]$%. Утверждение о том, что всякий действительный корнеь уравнения $%x^2+x+5=0$% принадлежит этому отрезку логически верно, и оно вовсе не подразумевает факта существования таких корней. Это тривиальность.
(9 Окт '14 14:00)
falcao
По поводу записи ответа: если решений нет, то множество решений пусто, и ответ записывается или в виде "решений нет", или в виде $%x\in\emptyset$%. Это обычная вещь. Что касается $%0^0$%, то в школе такое выражение считается не определённым. А математически это пустое произведение, и его значение равно 1. Как и для $%2^0$% или $%0!$%. Об этом на форуме когда-то подробно говорили.
(9 Окт '14 14:02)
falcao
показано 5 из 11
показать еще 6
|
Нет таких $%a$%. Проверил на програмке. Всегда найдется $%x$% который будет решением но не будет принадлежать $%x \in [\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}]$%. Так что скорее всего очередная опечатка...
@void_pointer: здесь подходит, например, значение $%a=-3.237$%. Проверьте более внимательно.
@falcao при $%a = - 3.237$% решением неравенства является $%x \in [ \approx 1.58;\,\, \approx 1.65]$%, что действительно входит в $%x \in [\frac{\pi }{2};\,\frac{{3\pi }}{2}]$%. Да, вы правы при $%a = - \frac{3}{5} - \frac{\pi }{2}$% до $%a$%, когда функция становится положительной, все решения принадлежат $%[\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}]$%.
@void_pointer: да, так и есть. Там просто интервал, когда имеются решения, очень узкий. Это делает соответствующую версию условия более трудной и более интересной.