Задача

То, что надо доказать - доказал. А вот с условием не очень понятно. Точно вывел, что при А1 = А2 ИЛИ В1 = В2 это равенство, но есть ли какие-то другие? И как их получить?

задан 9 Окт '14 0:11

10|600 символов нужно символов осталось
0

Другие варианты есть. Совпадение множеств не обязательно; достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из двух условий:

1) $%A_1\subseteq A_2$% и $%B_1\subseteq B_2$%;

2) $%A_2\subseteq A_1$% и $%B_2\subseteq B_1$%.

Прежде всего, если первое условие выполнено, но в обеих частях получаются множества $%A_2\times B_2$%, то есть имеет место равенство. Соответственно, для второго случая в обеих частях получится множество $%A_1\times B_1$%. Также при $%A_1=A_2$% или $%B_1=B_2$% равенство из условия будет иметь место.

Предполагая, что $%A_1\ne A_2$% и $%B_1\ne B_2$%, докажем, что из $%(A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)=(A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)$% следует истинность 1) или 2). Предположим, что $%A_1$% не содержится в $%A_2$%. Выберем элемент $%a\in A_1$%, $%a\notin A_2$%. Рассмотрим упорядоченную пару $%\langle a,b\rangle$%, где $%b\in B_1\cup B_2$%. Она принадлежит правой части равенства, поэтому должна принадлежать и левой. Но в $%A_2\times B_2$% её нет, и она должна быть в $%A_1\times B_1$%, а тогда $%b\in B_1$%. Это верно для произвольного $%b$% из объединения, из чего мы делаем вывод, что $%B_2\subseteq B_1$%. Тогда, если условие 2) нарушается, то $%A_2$% не содержится в $%A_1$%, откуда аналогичным образом получается $%B_2\subseteq B_1$%, то есть множества $%B_1$% и $%B_2$% равны. Точно такой же вывод следует и из предположения, что $%A_2$% не содержится в $%A_1$%.

ссылка

отвечен 9 Окт '14 1:36

Спасибо, но есть два вопроса:

  1. Зачем мы доказываем, что из равенства следует истинность (1) и (2)?

  2. Как убедиться в том, что мы исчерпали все варианты, вдруг еще есть?

(9 Окт '14 1:42) Leva319

Мы находим необходимые и достаточные условия, при которых выполняется равенство. Всего условий четыре, включая равенства 3) $%A_1=A_2$%, 4) $%B_1=B_2$%. Если хотя бы один из пунктов выполнен, то равенство имеет место. То, что других вариантов нет, следует из приведённого рассуждения. Там предполагается, что равенства 3-4 нарушаются, и при этом доказывается, что будет верно условие пункта 1 или пункта 2.

(9 Окт '14 2:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×520

задан
9 Окт '14 0:11

показан
605 раз

обновлен
9 Окт '14 2:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru