математический-анализ - Доказать неравенство

Представим функцию под знаком модуля в виде интеграла. Прежде всего, $%f(x)-f(a)=\int_a^xf'(t)\,dt$% по формуле Ньютона - Лейбница. Применять её можно, так как $%f'$% дифференцируема, в частности, непрерывна, поэтому интегрируема по Риману на отрезке. Также ясно, что $%x-a=\int_a^xdt$%, откуда $%f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\int_a^x(f'(t)-f'(a))dt$%.

К функции $%f'(t)-f'(a)$%, поскольку она дифференцируема, применима теорема Лагранжа, согласно которой $%\frac{f'(t)-f'(a)}{t-a}=f''(c)$% при $%a < t$% для некоторой точки $%c\in(t,a)$%. В частности, $%|f'(t)-f'(a)|=|f''(c)|(t-a)\le C(t-a)$% для всех $%t\in[a;b]$%. Отсюда получаем оценку $%|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)|=|\int_a^x(f'(t)-f'(a))dt|\le\int_a^x|f'(t)-f'(a)|dt\le C\int_a^x(t-a)dt$%, что равно $%\frac12C(x-a)^2$%.

Если бы было известно, что $%f''(t)$% интегрируема (например, это следовало бы из непрерывности второй производной, если бы такое условие нам было дано), то вместо теоремы Лагранжа можно было бы повторно применить теорему Ньютона - Лейбница, получая ту же оценку: $%f'(t)-f'(a)=\int_a^tf''(u)\,du$% с последующей оценкой модуля интеграла, основанной на неравенстве $%|f''(t)|\le C$%.

Добавление. Можно в доказательстве не использовать интеграл, хотя такое рассуждение выглядит более искусственно. Рассмотрим функцию $%\varphi_1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\frac12C(x-a)^2$%. Тогда $%\varphi_1'(x)=f'(x)-f'(a)-C(x-a)$%. Ясно, что $%\varphi_1(a)=0$%, а из теоремы Лагранжа для $%f'$% мы вывели неравенство $%f'(x)-f'(a)\le C(x-a)$%. Это значит, что $%\varphi_1'(x)\le0$%, то есть функция не возрастает, и тогда $%\varphi_1(x)\le\varphi_1(a)=0$%. Отсюда получается неравенство $%f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\le\frac12C(x-a)^2$%.

Второе неравенство получается аналогично при помощи рассмотрения функции $%\varphi_2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)+\frac12C(x-a)^2$%. Она не убывает, поскольку $%\varphi_2'(x)\ge0$% по причине того, что $%f'(x)-f'(a)\ge-C(x-a)$% в силу той же теоремы Лагранжа.

По содержанию это почти то же самое, только менее прозрачно.