|
Найти ортогональную проекцию вектора $%\overline{V} (2, 4, 4)$% на плоскость с базисом $%\overline{a} \ (1, 0, 1)$%, $%\overline{b} \ (1, 2, -1)$%. задан 9 Окт '14 16:45 
Bob1995 |
|
Проекция $%w$% вектора $%v$% обладает следующими свойствами: 1) она принадлежит плоскости, то есть представляется в виде $%xa+yb$% с некоторыми коэффициентами; 2) разность векторов $%v-w$% ортогональна плоскости, то есть скалярное произведение этого вектора на оба базисных равно нулю. Отсюда получаем два уравнения: $%(w,a)=(v,a)$% и $%(w,b)=(v,b)$%, то есть $%x(a,a)+y(a,b)=(v,a)=6$% и $%x(a,b)+y(b,b)=(v,b)=6$%. Ясно, что $%(a,b)=0$%, что облегчает вычисления; $%(a,a)=2$%, $%(b,b)=6$%, откуда $%x=3$%, $%y=1$%. В итоге $%w=3a+b=(4;2;2)$%. отвечен 9 Окт '14 18:15 
falcao Скажите, а почему, найдя вектор нормали n к плоскости и воспользовавшись ф-лой [v;n]/|n| - мы не придем к правильному ответу, хотя если рассуждать геометрически, то от этой ф-лы должно остаться |v|sin (a), что по прямоугольному треугольнику должно равняться, как раз нашей проекции. И почему тогда, в данном случае действует ф-ла [n,[v,n]]/|n|^2 ??
(9 Окт '14 21:21)
Bob1995
@alisainy1: в аналитической геометрии обычно можно решать задачи несколькими способами. Конечно, можно было применить векторное произведение и рассмотреть вектор нормали. Но я выбрал другой способ, где ответ можно было вычислить сразу, без черновика.
(9 Окт '14 21:34)
falcao
Нет, это понятно, что ваш способ уместен. Мой вопрос в том, почему это ф-ла [n,[v,n]]/|n|^2 верна для нахождения проекции, а эта нет [v;n]/|n|?
(9 Окт '14 21:44)
Bob1995
@alisainy1: я готовыми формулами почти не пользуюсь, а запоминаю лишь то, что сложно выводится, но при этом часто используется. В частности, мне в это всё надо вдумываться, то есть я бы начал с вывода самих формул. Если для Вас это важно, я могу посмотреть. Вторая формула явно не даёт нужного результата, так как там вектор перпендикулярен $%v$%, а проекция на плоскость может давать с ним какой угодно угол. Мы ведь находим вектор, а не длину.
(9 Окт '14 22:04)
falcao
|