алгебра - Решить уравнение

Возведём обе части в квадрат, получая следствие $%(x^3-1)^2=x(3x^2-5x+3)^2$%. После раскрытия скобок получается $%x^6-9x^5+30x^4-45x^3+30x^2-9x+1=0$%, где коэффициенты симметричны относительно прочтения в том и другом направлении. В таких случаях полезно выражать всё через новую переменную $%y=x+x^{-1}$% (ясно, что $%x\ne0$%). Этот же приём можно было применить и сразу, деля обе части на $%x^3$%.

Если мы продолжаем работать с уравнением 6-й степени, то делим его на $%x^3$%, получая $%x^3+x^{-3}-9(x^2+x^{-2})+30(x+x^{-1})-45=0$%. Из формул сокращённого умножения следует, что $%x^2+x^{-2}=y^2-2$%, а также $%x^3+x^{-3}=y^3-3y$%, поэтому $%y^3-3y-9(y^2-2)+30y-45=0$%, то есть $%y^3-9y^2+27y-27=0$%, что равносильно $%(y-3)^3=0$%, и потому $%x+x^{-1}=3$%. Корни квадратного уравнения $%x^2-3x+1=0$% равны $%x=\frac{3\pm\sqrt5}2$%. Оба они положительны, то есть $%\sqrt{x}$% имеет смысл. Поскольку мы возводили в квадрат, требуется проверка. Иррациональные выражения подставлять неудобно, поэтому используем алгебраические свойства чисел.

Прежде всего, из $%x^2=3x-1$% следует, что $%x^3=3x^2-x=3(3x-1)-x=8x-3$%, поэтому левая часть равна $%x^3-1=4(2x-1)$%. Далее, $%-3x^2+5x-3=-9x+3+5x-3=-4x$%. Поэтому проверке подлежит равенство $%2x-1=-x\sqrt{x}$%. Поскольку $%x\ge0$%, подходят только значения $%x\le\frac12$%. В частности, $%x=\frac{3+\sqrt5}2$% корнем исходного уравнения не будет. Число $%x=\frac{3-\sqrt5}2$% удовлетворяет неравенству $%x < \frac12$%, и тогда на множестве $%x\in(0;\frac12)$% обе части уравнения $%1-2x=x\sqrt{x}$% неотрицательны, и в этом случае возведение в квадрат приводит к равносильному уравнению. Это значит, что уравнение имеет один корень $%x\in\{\frac{3-\sqrt5}2\}$%.