Обратные функции

Это по смыслу достаточно очевидная вещь, так как там сказано, что если выполнить друг за другом два действия $%f$% и $%g$% в любом порядке (слово "функция" и переводится как "действие"), то получится то, с чего мы начали. Типа: открыли окно, а потом закрыли его же. Результат равноценен тому, как если бы мы ничего не делали. Это отражает суть взаимно обратных действий.

На формальном языке всё выглядит так. Нам дано, что $%g(f(a))=a$% для всех $%a\in A$%, а также что $%f(g(b))=b$% для всех $%b\in B$%. Проверим, что $%f$% инъективна. Для этого рассмотрим уравнение $%f(a_1)=f(a_2)$%, где $%a_1,a_2\in A$%. Это элемент множества $%B$% в двух видах; применим к нему отображение $%g$%. Это даёт $%g(f(a_1))=g(f(a_2))$%, то есть $%a_1=a_2$%. Инъективность доказана.

Теперь проверяем сюръективность. Рассматриваем произвольный элемента $%b\in B$%. Надо доказать, что он имеет прообраз относительно $%f$%. Полагаем $%a=g(b)\in A$%. Тогда $%f(a)=f(g(b))=b$%, то есть прообраз найден.

По определению, $%f$% биективно. Из $%f(a)=b$% следует $%a=g(f(a))=g(b)$%, а из $%a=g(b)$% следует $%f(a)=f(g(b))=b$%. Таким образом, $%\langle a,b\rangle\in f\Leftrightarrow\langle b,a\rangle\in g$%, то есть $%g=f^{-1}$% по определению обратных соответствий.