Каждое натуральное число покрасили в один из двух цветов: синий или желтый. Верно ли, если найдутся два разных числа одного цвета, среднее арифметическое которых - натуральное число того же цвета?

задан 10 Окт '14 16:01

изменен 11 Окт '14 12:47

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Анна18, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(11 Окт '14 12:47) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Этот факт верен, и он является частным случаем общей теоремы ван дер Вардена об арифметических прогрессиях, но она имеет достаточно сложное доказательство, и оценка, основанная на соображениях этой теоремы, оказывается далека от оптимальной. В данном случае требуемый факт можно установить полным перебором для случая девяти первых натуральных чисел. Заметим, что восьми чисел не хватит, так как можно раскрасить 1, 2, 5, 6 в синий цвет и 3, 4, 7, 8 в жёлтый. Среднее арифметическое чисел одного цвета здесь всегда имеет другой цвет.

Рассмотрим теперь числа от 1 до 9 и докажем, что в этом случае факт будет верен. Начнём со случая, когда 1 и 9 раскрашены в разные цвета. Их среднее арифметическое 5 раскрашено в цвет, совпадающий с цветом 1 или 9. Ввиду того, что числа можно читать в обратном порядке, и от этого ничего не изменится, будем без ограничения общности считать, что 1 и 5 -- синие, а 9 -- жёлтое. Если мы избегаем одноцветных арифметических прогрессий длиной три, то 3 должно быть жёлтым. Тогда число 6 синее. Чтобы не получилось одноцветной тройки от 4 до 6 или от 5 до 7, числа 4 и 7 должны быть жёлтыми. Тогда 2 синее, поскольку за ним идёт два жёлтых. Число 8 оказывается синим, так как расположено между двумя жёлтыми. Получилась раскраска ССЖЖССЖСЖ, и числа 2, 5, 8 имеют одинаковый цвет, что завершает рассмотрение этого случая.

Пусть теперь 1 и 9 одноцветны; полагаем этот цвет синим. Число 5 посередине считаем жёлтым. Числа 3 и 7 не должны быть оба жёлтыми из-за возникновения тройки 3, 5, 7. Тогда хотя бы одно из них синее, и в силу симметрии можно считать, что 3 является синим. Тогда 2 жёлтое из-за чисел 1, 2, 3. Число 8 становится синим из-за тройки 2, 5, 8. Тогда 7 жёлтое из-за тройки 7, 8, 9. Посередине между жёлтыми 5 и 7 находится синее 6. После этого тройка 3, 6, 9 оказывается синей. Рассмотрение случаев закончено.

ссылка

отвечен 10 Окт '14 16:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×525
×128
×13

задан
10 Окт '14 16:01

показан
1643 раза

обновлен
11 Окт '14 12:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru