|
Добрый день. $$\lim_{x \rightarrow o} \frac {f(x)}{F(x)}=1 $$ $$\lim_{x \rightarrow o} \frac {{\rm sin} \ x - {\rm tg} \ x}{Cx^\alpha}= \frac {1}{C}\lim_{x \rightarrow o} \frac {x-x}{x^\alpha}$$ Наверху получается просто ноль, значит нет такого числа $%\alpha$%. задан 11 Окт '14 11:12 
MaximK |
|
Ошибка здесь в том, что синус и тангенс заменяются на $%x$%. Но они равны $%x$% только с точностью до бесконечно малых определённого порядка (скажем, второго или третьего). Тогда в числителе $%x-x$% сократится, но останется не $%0$%, а $%x$% в некой степени. Суть задачи состоит в том, что надо выяснить, в какой именно. Если не применять какие-то сложные средства, то можно рассуждать так. $%f(x)=\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x\cdot\frac{\cos x-1}{\cos x}$%. Ввиду того, что $%\sin x\sim x$% и $%\cos x\sim 1$%, можно вместо функции $%f(x)$% рассматривать более простую функцию $%f_1(x)=-x(1-\cos x)$%. Эта замена корректна, поскольку предел отношения функций $%f$% и $%f_1$% равен единице, а нас всё интересует с точностью до этой характеристики. Применяя тригонометрическое тождество, получаем $%f_1(x)=-2x\sin^2\frac{x}2\sim-2x(\frac{x}2)^2=-\frac12x^3$%. Это даёт значения $%\alpha=3$% и $%C=-\frac12$%. отвечен 11 Окт '14 11:47 
falcao |
|
$$\begin{array}{l} {\text{При }}x \to 0\\ \sin x = x - \frac{1}{6}{x^3} + o\left( {{x^3}} \right)\\ {\mathop{\rm tg}\nolimits} x = x + \frac{1}{3}{x^3} + o\left( {{x^3}} \right)\\ {\text{Следовательно}}{\text{,}}\\ \sin x - {\mathop{\rm tg}\nolimits} x = - \frac{1}{2}{x^3} + o\left( {{x^3}} \right){\text{, т}}{\text{.е}}{\text{.}}\\ \sin x - {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \sim - \frac{1}{2}{x^3} \end{array}$$ отвечен 11 Окт '14 11:41 
Igore Откуда берутся $%\frac{1}{6}{x^3}$% и $%\frac{1}{3}{x^3}$%?
(11 Окт '14 11:49)
MaximK
|