теория-вероятностей - Доказать, используя вероятностные соображения

Для начала комбинаторный смысл, поскольку он проще. Из $%n$% элементов множества выделим $%k$% элементов (для фиксированного значения от $%0$% до $%n$%) и назовём их особыми. В левой части равенства находится число способов выбрать $%m$% элементов из $%n$%. Когда мы это делаем, то берём какое-то количество особых элементов. Его можно обозначить через $%j$%, и оно принимает значения между $%0$% и $%\min(m,k)$%. Эти элементы мы можем выбрать $%C_k^j$% способами. Оставшиеся элементы из общего количества $%n-k$% мы добираем в количестве $%m-j$%, что можно сделать $%C_{n-k}^{m-j}$% способами. По правилу произведения эти числа сочетаний перемножаются, что даёт количество способов выбора для заданного $%j$%. Поскольку разные $%j$% дают разные способы, далее надо всё просуммировать по правилу суммы. Можно вести суммирование от $%0$% до $%m$%, так как при $%j > k$% слагаемые оказываются нулевыми.

Теперь вероятностная интерпретация на основе сказанного. Делим обе части на $%2^n$%. В левой части получается вероятность того, что при $%n$% бросаниях симметричной монеты нас ждёт ровно $%m$% успехов (например, "орлов"). В правой части распределим степени двойки между сомножителями, чтобы одно число сочетаний разделилось на $%2^k$%, а другое на $%2^{n-k}$%. В обозначениях это даёт $%p_{n,m}=\sum\limits_{j=0}^mp_{k,j}p_{n-k,m-j}$%, где $%p_{n,m}$% есть вероятность получить при $%n$% испытаниях ровно $%m$% успехов. Вместо особых предметов у нас теперь выделены первые $%k$% испытаний, в процессе которых мы имеем число успехов, равное какому-то числу $%j$%, а в остальных испытаниях, соответственно, у нас $%m-j$% успехов. Тогда формула сразу следует из простых правил теории вероятностей.