|
Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей через точку А(-1,3) и касающейся прямых 7x+y=0 и x-y+8=0. задан 11 Окт '14 23:31 
Uchenitsa |
|
Придумал несколько более простое решение. Точкой пересечения прямых будет $%P(-1;7)$%. Направляющие векторы прямых имеют вид $%a=(1;-7)$% и $%(1;1)$%. Умножим второй вектор на 5, чтобы длины векторов получились одинаковые: $%b=(5;5)$%. Сумма и разность векторов $%a\pm b$% задают направляющие векторы биссектрис углов. Их можно сокращать; получается $%(3;-1)$% и $%(1;3)$%. Точка $%A(-1;3)$% содержится в той четверти, которая определяется вторым из направлений, что можно определить по знакам выражений $%7x+y$% и $%x-y+8$%. Из этого следует, что центр окружности лежит на прямой, задаваемой параметрически как $%x=-1+t$%, $%y=7+3t$%. Квадрат расстояния до точки $%A$% равен $%t^2+(3t+4)^2$%. Расстояние до прямой $%x-y+8=0$% задаётся формулой $%\frac{|(-1+t)-(7+3t)+8|}{\sqrt2}$% (в знаменателе -- корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при $%x$%, $%y$%). Квадрат расстояния равен $%2t^2$%. Для второй из прямых он получается такой же, так как точка лежит на биссектрисе. В итоге возникает уравнение $%t^2+(3t+4)^2=2t^2$%, упрощаемое до $%t^2+3t+2=0$%. При $%t=-1$% координаты центра равны $%(-2;4)$%, а радиус равен $%\sqrt2$%, что видно на основе расстояния до $%A$%. При $%t=-2$% центром будет $%(-3;1)$%, радиус равен $%2\sqrt2$%. Первоначально у меня была система из двух уравнений второго порядка от двух неизвестных. Она решается, но сам процесс намного более длинный. отвечен 12 Окт '14 1:10 
falcao @Uchenitsa: направляющий вектор прямой выбирается неоднозначно. Им можно считать любой ненулевой вектор, параллельный заданной прямой. Если подходит (-1;-1), то подходит и (1;1). Это одно и то же.
(12 Окт '14 13:54)
falcao
|
|
Решение: Уравнение окружности имеет вид $${x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0{\text{ или }}{(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {R^2}$$ Точка $%A = ( - 1,3)$% лежит на окружности, поэтому ее координаты можно подставить в уравнение окружности, тогда мы получим: $$ - a + 3b + c + 10 = 0$$ Как мы видим, у нас получилось уравнение с тремя неизвестными и чтобы его решить нужно составить еще два уравнения с неизвестными $%a,\,\,b,\,\,c$%. Для этого воспользуемся условием касания двух прямых $$y = - 7x{\text{ и }}y = x + 8$$ Подставим $%y = - 7x$% в $%{x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0$% и выразим полученное уравнение как квадратное относительно переменной $%x$%. Получим $%50{x^2} + (a - 7b)x + c = 0$%, для условия касания нужно чтобы данное уравнение имело лишь одно решение, то есть дискриминант должен быть равен нулю $$D = {(a - 7b)^2} - 200c = 0$$ Тоже самое проделываем со второй касательной. В итоге получим систему с тремя уравнениями и тремя неизвестными: $$\begin{cases}- a + 3b + c + 10 = 0\\{(a - 7b)^2} - 200c = 0\\{(a + b + 16)^2} - 64b - 8c - 512 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} a=4 \\ b=-8 \\ c=18 \end{gathered} \right. \\ \left\{ \begin{gathered} a=6 \\ b=-2 \\ c=2 \end{gathered} \right.\end{gathered} \right.$$ В общей форме получаем две окружности: $${(x + 2)^2} + {(y - 4)^2} = 2{\text{ и }}{(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} = 8$$ Вот график:
отвечен 12 Окт '14 1:55 
night-raven |
|
Центр находится на биссектрисе угла между заданными прямыми, а уравнение этой биссектриссы $%3x-y+10=0.$% Пусть центр окружности $%O(x_0,3x_0+10),$% а радиус $%R=\frac{|10x_0+10|}{\sqrt{50}}=\sqrt{2}|x_0+1|-$% расстояние от прямой $%7x+y=0.$% Тогда уравнение окружности имеет вид $%(x-x_0)^2+(y-3x_0-10)^2=2(x_0+1)^2.$% Так как оно походит через точку $%A(-1;3),$% получим уравнение $%(x_0+1)^2=(3x_0+7)^2.$% Решив это уравнение, находим центры окружностей $%O_1(-2;4)$% и $%O_2(-3;1)$% и радиусы $%R_1=\sqrt2,R_2=2\sqrt2.$% отвечен 12 Окт '14 1:40 
ASailyan |
Я решил, но там очень уж большие вычисления получились! Надо подумать над упрощением. Оно наверняка должно быть.
@falcao Проблемы могут возникнуть лишь при решении системы, остальное все идет как маслу)
@void_pointer: я первоначально как раз через систему и решал. Принцип, разумеется, простой, но вот технически это всё громоздко весьма выглядит.