|
Две окружности касаются внешним образом в точке $%A$%. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку $%A$% с точками касания одной из внешних касательных, равны $%6$% и $%8$%. задан 12 Окт '14 12:23 
Lackawanna |
|
Пусть $%B$%, $%C$% -- точки касания. Проведём общую касательную в точке $%A$% до пересечения с внешней касательной в точке $%D$%. Тогда $%DB=DA=DC$% по свойству касательных, проведённых из одной точки. Из этого следует, что угол $%BAC$% прямой, так как середина противолежащей стороны оказывается центром описанной окружности. В частности, $%BC=10$% по теореме Пифагора. Далее всё можно вычислить многими способами. Если не составлять уравнений, то можно заметить, что если из центров окружностей опустить перпендикуляры на хорды, то "половинки" равнобедренных треугольников окажутся подобными треугольнику $%ABC$% с соотношением сторон $%3:4:5$%. Это следует из соотношений между углами. Тогда первый радиус получается умножением половины первой хорды на коэффициент $%5/4$%, и это даёт $%15/4$%. А половина второй хорды умножится на $%5/3$%, что даст $%20/3$% для значения второго радиуса. отвечен 12 Окт '14 15:44 
falcao |
@Lackawanna, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.